Fehlerab. Mittelpunktsregel < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Galappi |
| Aufgabe | Für die Mittelpunktsregel M(f) gilt folgende Fehlerabschätzung:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx - M(f)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{24} (b-a)^3 f''(\delta),
[/mm]
wobei [mm] \delta \in [/mm] (a,b) gilt.
Leiten Sie hieraus die Fehlerabschätzung für die zusammengesetzte Mittelpunktsregel [mm] M_{n}(f):
[/mm]
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x) dx - M_{n}(f)}| \le \bruch{h^2}{24}(b-a) \max_{\delta\in(a,b)}|f''(\delta)|
[/mm]
her, wobei h= (b-a)/n gilt. |
Wie muss ich hier vorgehen, um dieses zu beweisen?
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Hallo Galappi,
> Für die Mittelpunktsregel M(f) gilt folgende
> Fehlerabschätzung:
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> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx - M(f)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{24} (b-a)^3 f''(\delta),[/mm]
>
> wobei [mm]\delta \in[/mm] (a,b) gilt.
>
> Leiten Sie hieraus die Fehlerabschätzung für die
> zusammengesetzte Mittelpunktsregel [mm]M_{n}(f):[/mm]
>
> [mm]|\integral_{a}^{b}{f(x) dx - M_{n}(f)}| \le \bruch{h^2}{24}(b-a) \max_{\delta\in(a,b)}|f''(\delta)|[/mm]
>
> her, wobei h= (b-a)/n gilt.
> Wie muss ich hier vorgehen, um dieses zu beweisen?
Entwickle f in eine Taylorreihe um [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm],
integriere dies und setze dies Grenzen ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Ich habe mir mal die Taylorreihenentwicklung zur Gemüte geführt, komme allerdings auf keinen grünen Zweig. Wie mache ich das mit der Taylorreihen entwicklung?
Für die Hilfe sag ich jetzt schon mal riesen Dank!
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Hallo Galappi,
> Ich habe mir mal die Taylorreihenentwicklung zur Gemüte
> geführt, komme allerdings auf keinen grünen Zweig. Wie
> mache ich das mit der Taylorreihen entwicklung?
Poste dazu Deine Gehversuche.
>
> Für die Hilfe sag ich jetzt schon mal riesen Dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Leider hatte ich noch nie etwas mit der Taylorreihe zu tun, daher finde ich da schon nicht so recht den Ansatz. Würde Folgendes in die Richtige Richtung gehen:
f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(\bruch{a+b}{2})}{n!}(x-\bruch{a+b}{2})^n
[/mm]
????
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Hallo Galappi,
> Leider hatte ich noch nie etwas mit der Taylorreihe zu tun,
> daher finde ich da schon nicht so recht den Ansatz. Würde
> Folgendes in die Richtige Richtung gehen:
>
> f(x) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(\bruch{a+b}{2})}{n!}(x-\bruch{a+b}{2})^n[/mm]
>
> ????
Ja, das geht in die richtige Richtung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Und das muss ich dann integrieren?
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Hallo Galappi,
> Und das muss ich dann integrieren?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Galappi |
okay...d.h. also sowas wie:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n+1}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\integral_{a}^{b}{(x-\bruch{a+b}{2})^{n}dx}
[/mm]
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Hallo Galappi,
> okay...d.h. also sowas wie:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n+1}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\integral_{a}^{b}{(x-\bruch{a+b}{2})^{n}dx}[/mm]
>
Ja, das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Soooooo...nun habe ich als Ergebnis der Integration der Taylorreihe Folgendes raus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n+1}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\ldot[\bruch{(\bruch{b-a}{2})^{n+1}- (\bruch{a-b}{2})^{n+1}}{n+1}]
[/mm]
Ist das so richtig?
Wenn ja wie geht es nun weiter? Bin jetzt total festgefahren und habe keine Idee mehr, die mich weiterbringt.
Und riesen Dank für die Hilfe bisher!
Schöne Grüße Galappi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Soooo...nun habe ich durch weiteres umformen Folgendes rausbekommen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n+1}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\ldot\bruch{(b-a)\ldot[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2\ldot(n+1)}
[/mm]
Ich komme jetzt trotzdem nicht auf die in der Aufgabe geforderte untere Gleichung. Was muss ich machen? Wie bekomme ich das Summenzeichen aus der Gleichung? Und wie komme ich auf die richtige Anzahl der Ableitungen bei f? Wäre für weitere Hilfe echt riesig dankbar!!!
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Hallo Galappi,
> Soooo...nun habe ich durch weiteres umformen Folgendes
> rausbekommen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n+1}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\ldot\bruch{(b-a)\ldot[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2\ldot(n+1)}[/mm]
>
> Ich komme jetzt trotzdem nicht auf die in der Aufgabe
> geforderte untere Gleichung. Was muss ich machen? Wie
> bekomme ich das Summenzeichen aus der Gleichung? Und wie
> komme ich auf die richtige Anzahl der Ableitungen bei f?
> Wäre für weitere Hilfe echt riesig dankbar!!!
Siehe meine Antwort hier.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Die Umformung ist also so tatsächlich richtig? Hätte ich ja niemals gedacht!
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Hallo Galappi,
> Die Umformung ist also so tatsächlich richtig? Hätte ich
> ja niemals gedacht!
Ja, bis auf den Index n+1 bei der Ableitung von f.
Dieser muss "n" lauten.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2(n+1)}-\summe_{n=0}^{\infty}f(\bruch{a+b}{2})\bruch{b-a}{n}
[/mm]
???
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Hallo Galappi,
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}}{2(n+1)}-f(\bruch{a+b}{2})(b-a)[/mm]
>
> ???
Jo, schreibe das jetzt etwas ausführlicher hin.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2(n+1)}-\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f(\bruch{a+b}{2})(b-a)}{n}
[/mm]
So besser?
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Hallo Galappi,.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2(n+1)}-\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f(\bruch{a+b}{2})(b-a)}{n}[/mm]
>
> So besser?
So meinte ich das nicht.
Schreibe das so:
[mm]\operatorname{1. \ Summand}+\operatorname{2. \ Summand}+\operatorname{3. \ Summand}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2(n+1)}-f(\bruch{a+b}{2})(b-a)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
[mm] \bruch{f^{1}(\bruch{a+b}{2})}{1}\bruch{(b-a)[2(b-a)]}{4}+\bruch{f^{2}(\bruch{a+b}{2})}{2}\bruch{(b-a)[2(b-a)^{2}]}{6}+\bruch{f^{3}(\bruch{a+b}{3})}{6}\bruch{(b-a)[2(b-a)^{3}]}{8}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2(n+1)}-f(\bruch{a+b}{2})(b-a)
[/mm]
????
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Hallo Galappi,
>
> [mm]\bruch{f^{1}(\bruch{a+b}{2})}{1}\bruch{(b-a)[2(b-a)]}{4}+\bruch{f^{2}(\bruch{a+b}{2})}{2}\bruch{(b-a)[2(b-a)^{2}]}{6}+\bruch{f^{3}(\bruch{a+b}{3})}{6}\bruch{(b-a)[2(b-a)^{3}]}{8}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\bruch{(b-a)[(b-a)^{n}+(b-a)^{n}]}{2(n+1)}-f(\bruch{a+b}{2})(b-a)[/mm]
>
> ????
Die Summe muß doch lauten:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n}(\bruch{a+b}{2})}{n!}*\left(\bruch{b-a}{2}\right)^{n+1}*\bruch{1}{n+1}*\left(1-\left(-1\right)^{n+1}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Sind dann die Summanden auch falsch, oder nur das was hinter der Summe steht?
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Hallo Galappi,
> Sind dann die Summanden auch falsch, oder nur das was
> hinter der Summe steht?
Die Summanden sind auch falsch, da sie aus der Summe extrahiert wurden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
okay, ich sehe meinen Fehler....es muss so lauten:
[mm] \bruch{f^{0}\bruch{a+b}{2}}{1}(\bruch{b-a}{2})^{1}\bruch{1}{1}(1-(-1)^{1})+\bruch{f^{1}\bruch{a+b}{2}}{1}(\bruch{b-a}{2})^{2}\bruch{1}{2}(1-(-1)^{2}+\bruch{f^{2}\bruch{a+b}{2}}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}\bruch{1}{3}(1-(-1)^{3})+\bruch{f^{3}\bruch{a+b}{2}}{6}(\bruch{b-a}{2})^{4}\bruch{1}{4}(1-(-1)^{4})+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})-\bruch{f(\bruch{b-a}{2})(b-a)}{n}
[/mm]
und wie gehts dann weiter?
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Hallo Galappi,
> okay, ich sehe meinen Fehler....es muss so lauten:
>
> [mm]\bruch{f^{0}\bruch{a+b}{2}}{1}(\bruch{b-a}{2})^{1}\bruch{1}{1}(1-(-1)^{1})+\bruch{f^{1}\bruch{a+b}{2}}{1}(\bruch{b-a}{2})^{2}\bruch{1}{2}(1-(-1)^{2}+\bruch{f^{2}\bruch{a+b}{2}}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}\bruch{1}{3}(1-(-1)^{3})+\bruch{f^{3}\bruch{a+b}{2}}{6}(\bruch{b-a}{2})^{4}\bruch{1}{4}(1-(-1)^{4})+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})-\bruch{f(\bruch{b-a}{2})(b-a)}{n}[/mm]
>
> und wie gehts dann weiter?
Fasse zunächst zusammen, dann fällt einiges weg.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Zusammengefasst würde es dann so aussehen:
[mm] f^{0}(\bruch{a+b}{2})(b-a)+\bruch{f^{0}(\bruch{a+b}{2})}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})-\bruch{f(\bruch{b-a}{2})(b-a)}{n}
[/mm]
Richtig?
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Hallo Galappi,
> Zusammengefasst würde es dann so aussehen:
>
> [mm]f^{0}(\bruch{a+b}{2})(b-a)+\bruch{f^{0}(\bruch{a+b}{2})}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})-\bruch{f(\bruch{b-a}{2})(b-a)}{n}[/mm]
>
> Richtig?
Das muss doch so lauten:
[mm]f^{0}(\bruch{a+b}{2})(b-a)+\bruch{f^{\blue{''}}(\bruch{a+b}{2})}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})-f(\bruch{\blue{a+b}}{2})(b-a)[/mm]
Was ist [mm]f^{0}(\bruch{a+b}{2})[/mm] ?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
dann bleibt also nur noch das stehen:
[mm] \bruch{f^{\blue{''}}(\bruch{a+b}{2})}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})
[/mm]
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Hallo Galappi,
> dann bleibt also nur noch das stehen:
>
> [mm]\bruch{f^{\blue{''}}(\bruch{a+b}{2})}{2}(\bruch{b-a}{2})^{3}+\summe_{n=4}^{\infty}\bruch{f^{n}\bruch{a+b}{2}}{n!}(\bruch{b-a}{2})^{n+1}\bruch{1}{n+1}(1-(-1)^{n+1})[/mm]
>
So, jetzt bist Du fast am Ziel.
Das schreibt sich dann:
[mm]\bruch{f''(\bruch{a+b}{2})}{\blue{3}}(\bruch{b-a}{2})^{3}+O\left( \left(\bruch{b-a}{2}\right)^{5}\right)=\bruch{f''(\xi)}{\blue{3}}(\bruch{b-a}{2})^{3}[/mm]
mit [mm]\xi \in \left(a,b\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Oh man.....das hätte ich selber niemals auf die Reihe bekommen...
aber wie komme ich nun mit Hilfe von h= (b-a)/n auf die untere Formel?
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Hallo Galappi,
> Oh man.....das hätte ich selber niemals auf die Reihe
> bekommen...
>
> aber wie komme ich nun mit Hilfe von h= (b-a)/n auf die
> untere Formel?
Hier summierst Du die Fehler und schätzt
dann die entstehenden zweiten Ableitungen geeignet ab.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 16.01.2011 | | Autor: | Galappi |
Da muss ich nun ehrlich sagen, dass ich das gar nicht verstehe, was ich da machen soll.....
Und eine Frage noch zu vorher habe ich auch noch, woher kommt diese Schreibweise mit dem O? Der Rest ist ja im nachhinein sehr einleuchtend, aber diese Umfromung mit dem O habe ich auch noch nie gesehen.
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Hallo Galappi.
> Da muss ich nun ehrlich sagen, dass ich das gar nicht
> verstehe, was ich da machen soll.....
In jedem Intervall [mm]\left[a+k*\bruch{b-a}{n}, \ a+\left(k-1\right)*\bruch{b-a}{n}\right][/mm] gilt die Abschätzung
[mm]\integral_{a+k*\bruch{b-a}{n}}^{a+\left(k+1\right)*\bruch{b-a}{n}}{f(x) dx - M(f)} = \bruch{1}{24} \left(\bruch{b-a}{n}\right)^3 f''(\delta_{k}) [/mm]
,wobei [mm]0 \le k
Dann ist der Gesamtfehler:
[mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{1}{24} \left(\bruch{b-a}{n}\right)^3 f''(\delta_{k})[/mm]
Das ist laut Dreiecksungleichung
[mm]\le \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{1}{24} \left(\bruch{b-a}{n}\right)^3 \vmat{f''(\delta_{k})})=\bruch{1}{24} \left(\bruch{b-a}{n}\right)^3 \ \summe_{k=0}^{n-1}\vmat{ f''(\delta_{k})}[/mm]
Jetzt musst Du die Summe
[mm]\summe_{k=0}^{n-1} \vmat{f''(\delta_{k})}[/mm]
geeignet abschätzen.
>
> Und eine Frage noch zu vorher habe ich auch noch, woher
> kommt diese Schreibweise mit dem O? Der Rest ist ja im
> nachhinein sehr einleuchtend, aber diese Umfromung mit dem
> O habe ich auch noch nie gesehen.
Siehe hier:![[]](/images/popup.gif) Landau-Symbole
Gruss
MathePower
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Hallo Galappi,
> Soooooo...nun habe ich als Ergebnis der Integration der
> Taylorreihe Folgendes raus:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{n+1}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\ldot[\bruch{(\bruch{b-a}{2})^{n+1}- (\bruch{a-b}{2})^{n+1}}{n+1}][/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nicht ganz.
Hier muss doch stehen:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{\blue{n}}(\bruch{a+b}{2})}{n!}\ldot[\bruch{(\bruch{b-a}{2})^{n+1}- (\bruch{a-b}{2})^{n+1}}{n+1}][/mm]
>
>
> Wenn ja wie geht es nun weiter? Bin jetzt total
> festgefahren und habe keine Idee mehr, die mich
> weiterbringt.
Subtrahiere davon das Ergebnis, das die Mittelpunktsregel liefert.
>
> Und riesen Dank für die Hilfe bisher!
>
> Schöne Grüße Galappi
Gruss
MathePower
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