Fehlerabschätzung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Sa 14.11.2009 | | Autor: | didda |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:]0,\infty[\to\IR, f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] werde im Intervall [a,b] (0<a<b) durch ein Polynom [mm] p_{n} [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] n in den Knoten [mm] x_{i}:=a+i\bruch{b-a}{n}, [/mm] i=0,1,..n interpoliert. Zeigen sie
[mm] |f(\bruch{a+b}{2})-p_{n}(\bruch{a+b}{2})|\le\bruch{1}{a}*(\bruch{b-a}{2a})^{n+1}
[/mm]
und folgern sie daraus eine hinreichende Bedingung für a und b so, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}p_{n}(\bruch{a+b}{2})=f(\bruch{a+b}{2}) [/mm]
ist |
Hallo Matheforum,
im Zuge meines Mathestudiums ist dieses Semester unter anderem auch die Numerik dran, doch schon bei der zweiten Hausaufgabenreihe habe ich ein Problem, nämlich eben obige Aufgabe.
Leider fehlt mir jeglicher Zugang dazu, ich weiß nicht so genau was ich da machen soll. Muss ich die Funktion erst interpolieren und dann den Fehler überprüfen oder kann man so etwas allgemein zeigen? Wenn ich interpolieren soll, nach welcher Methode?
Wäre echt cool wenn ihr mir da helfen könntet :)
MfG und Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:48 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die Funktion [mm]f:]0,\infty[\to\IR, f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] werde im
> Intervall [a,b] (0<a<b) durch ein Polynom [mm]p_{n}[/mm] vom Grad
> [mm]\le[/mm] n in den Knoten [mm]x_{i}:=a+i\bruch{b-a}{n},[/mm] i=0,1,..n
> interpoliert. Zeigen sie
> [mm]|f(\bruch{a+b}{2})-p_{n}(\bruch{a+b}{2})|\le\bruch{1}{a}*(\bruch{b-a}{2a})^{n+1}[/mm]
> und folgern sie daraus eine hinreichende Bedingung für a
> und b so, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}p_{n}(\bruch{a+b}{2})=f(\bruch{a+b}{2})[/mm]
> ist
>
> im Zuge meines Mathestudiums ist dieses Semester unter
> anderem auch die Numerik dran, doch schon bei der zweiten
> Hausaufgabenreihe habe ich ein Problem, nämlich eben obige
> Aufgabe.
> Leider fehlt mir jeglicher Zugang dazu, ich weiß nicht so
> genau was ich da machen soll. Muss ich die Funktion erst
> interpolieren und dann den Fehler überprüfen oder kann
> man so etwas allgemein zeigen? Wenn ich interpolieren soll,
> nach welcher Methode?
Du sollst nicht konkret Polynome interpolieren, sondern etwas abstrakt zeigen.
Ihr hattet doch sicher eine Schranke fuer den Interpolationsfehler bei oft genug stetig diffbaren Funktionen, oder? Versuch doch mal sowas hier anzuwenden. Die Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] kannst du ja konkret $n$-mal ableiten und das in die Schranke einsetzen.
LG Felix
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