Fehlerabschätzung bei lin GLS < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] A=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } [/mm] mit [mm] A^{-1}=\pmat{\bruch 2 3 & - \bruch 1 3 \\ - \bruch 1 3 & \bruch 2 3}, [/mm] b= [mm] \pmat{7 \\ 5}, [/mm] x= [mm] \pmat{3 \\ 1}.
[/mm]
Für Näherungen [mm] \overline{A}, \overline{b}, \overline{x} [/mm] von A, b, x gelte [mm] \overline{A} \overline{x} [/mm] = [mm] \overline{b} [/mm] mit [mm] \begin{Vmatrix} \overline{b} - b \end{Vmatrix}\le \bruch{1}{800}.
[/mm]
Wie groß darf der Fehler [mm] \begin{Vmatrix} \overline{A} - A \end{Vmatrix} [/mm] sein, damit [mm] \begin{Vmatrix} \overline{x} - x \end{Vmatrix} \le [/mm] 0.3 gilt?
Berechnen Sie die Abschätzung für den Fehler in der
a) Supremumsnorm
b) Spektralnorm für x |
Hallo, ich verstehe bei der Aufgabe nicht so ganz was ich da machen soll.
Mein Ansatz zu a):
[mm] x=f(b)=A^{-1}b
[/mm]
Berechne [mm] K_{rel}=\bruch{\begin{Vmatrix} b \end{Vmatrix}_{\infty} \begin{Vmatrix} f'(b) \end{Vmatrix}_{\infty} }{\begin{Vmatrix} f(b) \end{Vmatrix}_{\infty} }
[/mm]
Dann erhalte ich [mm] K_{rel}=\bruch73
[/mm]
In der Vorlesung hatten wir folgende Abschätzung:
[mm] \bruch{\begin{Vmatrix} f(\overline{b}) - f(b) \end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix} f(b) \end{Vmatrix}}\le K_{rel} \bruch{\begin{Vmatrix} \overline{b} - b \end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix} b \end{Vmatrix}}
[/mm]
Hier kommen jetzt die Probleme, denn ich habe ja garkein [mm] \overline{A} [/mm] da drin oder ist meine Funktion falsch gewählt?
Muss ich [mm] \overline{f}(\overline{b}) [/mm] betrachten in der Abschätzung, wobei [mm] \overline{f}(\overline{b})=\overline{A^{-1}}\overline{b} [/mm] = [mm] \overline{x}? [/mm] Aber gilt die Abschätzung dann?
Die Aufgabe sollte eigentlich nicht schwer sein, aber durch das hin und her probieren weiß ich mittlerweile überhaupt nichtmehr was noch Sinn macht...
Ist zumidest der Ansatz [mm] K_{rel} [/mm] und die Abschätzung zu betrachten richtig? Und wenn ja, warum funktioniert das mit der Funktion oben nicht?
Wäre super wenn mich jemand in die richtige Richtung stupsen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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