Fehlerfinden bei Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mo 19.07.2010 | | Autor: | flexo |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden und Grundintegralen der Vorlesung (ohne Verwendung von Integraltafeln) das bestimmte Integral.
[mm]\int_{0}^{1} \left( x + 1 \right)^{3} \cdot \cos \left( \pi \cdot \left( x + 1 \right)^{2} \right)\,dx[/mm] |
Mein Lösungsansatz:
[mm]\int_{0}^{1} \left( x + 1 \right)^{3} \cdot \cos \left( \pi \cdot \left( x + 1 \right)^{2} \right)\,dx \stackrel{\text{Subst.}}{=} \frac{1}{2} \cdot \int_{1}^{4} t \cdot \cos \left( t \cdot \pi \right)\,dt \stackrel{\text{p.I.}}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( \left[ \frac{t \cdot \sin \left( t \cdot \pi \right)}{\pi} \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \cos \left( t \cdot \pi \right)\,dt \right) = \frac{1}{2} \left[ \frac{t \cdot \sin \left( t \cdot \pi \right)}{\pi} - \frac{\sin \left( t \cdot \pi \right)}{\pi} \right]_{1}^{4}[/mm]
[mm]= \frac{1}{2} \left( \frac{4 \cdot \sin \left( 4 \cdot \pi \right)}{\pi} - \frac{\sin \left( \pi \right)}{\pi} - \frac{\sin \left( 4 \cdot \pi \right)}{\pi} + \frac{\sin \left( \pi \right)}{\pi}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{4 \cdot 0}{\pi} - \frac{0}{\pi} - \frac{0}{\pi} + \frac{0}{\pi}\right) = 0[/mm]
Substitution:
[mm]\left( x + 1 \right)^{2} = t \Rightarrow dx = \frac{dt}{2 \left( x + 1 \right)}[/mm]
Laut meinem Lehrer soll da [mm]\pi^{2}[/mm] herauskommen, er ist bis zur Hälfte der Aufgabe gekommen, dann war die Stunde zu Ende, ich komme aber immer nur auf 0. Ist ne alte Klausuraufgabe. Kann es sein, dass er sich vertan hat? Habe ich einen Fehler gemacht?
LG
Euer Flexo
PS Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mo 19.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie mit den Integrationsmethoden und
> Grundintegralen der Vorlesung (ohne Verwendung von
> Integraltafeln) das bestimmte Integral.
> [mm]\int_{0}^{1} \left( x + 1 \right)^{3} \cdot \cos \left( \pi \cdot \left( x + 1 \right)^{2} \right)\,dx[/mm]
>
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]\int_{0}^{1} \left( x + 1 \right)^{3} \cdot \cos \left( \pi \cdot \left( x + 1 \right)^{2} \right)\,dx \stackrel{\text{Subst.}}{=} \frac{1}{2} \cdot \int_{1}^{4} t \cdot \cos \left( t \cdot \pi \right)\,dt \stackrel{\text{p.I.}}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( \left[ \frac{t \cdot \sin \left( t \cdot \pi \right)}{\pi} \right]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \red{\cos \left( t \cdot \pi \right)}\,dt \right) =\ldots[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
meines Erachtens ist
$$\int \underbrace{t}_{\equiv:u(t)}*\underbrace{\cos(\pi*t)}_{\equiv v'(t)}\;dt= \underbrace{t}_{\equiv u(t)}*\underbrace{\frac{\sin \left( t \cdot \pi \right)}{\pi}}_{\equiv:v(t)}}-\int \underbrace{1}_{\equiv u'(t)}*\underbrace{\blue{\frac{\sin \left( t \cdot \pi \right)}{\pi}}}_{\equiv:v(t)}}}\;dt\,.$$
Ich erhalte dann aber als Integralwert
$$\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos(t*\pi)}{\pi}\right]_{t=1}^{t=4}=\frac{1}{2\pi^2}*(1-(-1))=\frac{1}{\pi^2}=\pi^{\red{-}2}\,.$$
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Mi 21.07.2010 | | Autor: | flexo |
Danke, Du Tausendsassa!  Habs sogar jemand gegeben, der sich eigentlich auskenne soll, und der hat mir auch die 0 verkündet, vielleicht hat er gedacht, dass es schon stimmen wird und es sich leicht gemacht. Übermorgen hab ich Probeklausur und werde jetzt ein wenig klüger hineingehen.
|
|
|
|
