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| Aufgabe | | Für Cu beträgt die Fermienergie [mm] E_F(T=0)=7eV. [/mm] Welcher Bruchteil aller Leitungselektronen des Metalls hat bei der Temperatur T=300K eine Energie [mm] E\geq E_F? [/mm] |
Hallo,
ich habe hier 2 Lösungen vor mir, und weiß einfach nicht, welche denn nun stimmt.
Ich skizziere sie mal kurz:
In der ersten werden die Leitungselektronen mit [mm] E\geq E_F [/mm] durch die Fläche eines Dreiecks abgeschätzt. Hier wird gesagt: [mm] 0.5D(E_{F})=0.5D_{0}\sqrt{E_{F}} [/mm] und dann das Dreieck [mm]n=0.5 Gh=0.5 \cdot 0.5D_{0}\sqrt{E_{F}}\cdot kT[/mm]. Also ist entweder die halbe Zustandsdichte die Grundseite oder kT. Und eins von beiden ist dann die Höhe. Das Dreieck entsteht, wenn man es in die übliche Grafik der Fermi-Verteilung und der Angabe der besetzten Zustände einzeichnet. So ganz kapiert habe ich das noch nicht.
Wenn man das so macht, dann ist die Gesamtzustandsdichte: [mm] N=\int_{0}^{E_{F}}D(E)f(E)dE=\frac{2}{3}D_{0}E_{F}^{\frac{3}{2}}.
[/mm]
Dann bildet man n/N und kommt zu: [mm] \frac{n}{N}=\frac{3}{8}\frac{kT}{E_{F}}. [/mm] Dazu sei dann noch gesagt, dass diese Abschätzung sehr grob ist.
Zur 2ten Lösung:
[mm] \emph{Genauer gesagt, steht bei dieser Lösung in der Aufgabenstellung:
Welcher Bruchteil aller Elektronen... , also nicht }\textbf{\emph{Leitungselektronen!}}
[/mm]
Macht das einen Unterschied? Liegt hier vielleicht schon der Grund, warum die erste Lösung richtig ist?
Auf jeden Fall gehen die hier so vor:
[mm] \frac{n(E\geq E_{F})}{N}=\frac{\int_{E_{F}}^{\infty}\frac{1}{exp(\frac{E-E_{F}}{kT})+1}dE}{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{exp(\frac{E-E_{F}}{kT})+1}dE}=\frac{ln(2)}{E_{F}/kT+ln(1+e^{-E_{F}/kT})}\approx ln(2)\frac{kT}{E_{F}}.
[/mm]
Die Ergebnisse unterscheiden sich dann ja schon, da ln(2) fast das doppelte von 3/8 ist.
Was stimmt nun? Und wieso?
Gruß Sleeper
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das erste ist eben wirklich ne grobe Abschätzung , das ist alles denk ich zumindest.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 29.03.2010 | | Autor: | chrisno |
Die zweite Rechnung hat den richtigen Ansatz. Da steht die Fermi-Dirac Verteilung, die angibt, wie viele Elektronen eine bestimmte Energie haben.
Auch dort wird berechnet, welcher Anteil der Leitungselektornen das ist. Denn nur die Leitungselektronen werden durch so kleine Energien aktiviert. Die anderen müssen ja erst einen "Quantensprung" ausführen.
Wenn Du wirklich den Anteil von allen Elektronen wissen willst, was keinen Menschen interessiert, dann musst Du noch nachträglich dafür korrigieren und das Verhältnis Leitungselektronen zu alle Elektronen einbeziehen.
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