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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 02.02.2009 | | Autor: | freed |
| Aufgabe | [mm] f_0 [/mm] := 0, [mm] f_1 [/mm] := 1, [mm] f_{k+2} [/mm] := [mm] f_{k+1} [/mm] + [mm] f_k [/mm] (Die Folge der Fibonacci-Zahlen)
Damit wird definiert: [mm] F_{0}! [/mm] := 1, [mm] F_{n+1}! [/mm] := [mm] f_{n+1} \* F_{n}!, [/mm] n [mm] \in \IN_0
[/mm]
Weiterhin:
[mm] \vektor{n \\ 0}_F [/mm] := 1, [mm] \vektor{n \\ k}_F [/mm] := [mm] \bruch{F_{n}!}{F_{k}!F_{n-k}!}
[/mm]
Aufgabe: Zeige, dass [mm] \vektor{n \\ k}_F \in \IN [/mm] für alle n,k [mm] \in \IN_0, [/mm] k [mm] \le [/mm] n |
hi!
ich hab ne kleine frage zu der obenstehenden aufgabe. wollte einfach mal wissen ob meine richtung bei dem beweis richtig ist oder ob ich einen falschen ansatz habe... (und falls es stimmt, ob das als beweis überhaupt ausreicht)
normalerweise gehe ich immer so vor (ausgehend von [mm] \bruch{F_{n}!}{F_{k}!F_{n-k}!} [/mm] ) dass ich zeige, dass alle teile des bruchs [mm] \in \IN_0 [/mm] sind. wenn das gilt, ist der bruch [mm] \in \IN_0 [/mm] und damit [mm] \vektor{n \\ k}_F \in \IN_0.
[/mm]
zur argumentation: es ist klar, dass die fibonacci-zahlen natürliche zahlen sind (da [mm] f_0, f_1 \in \IN_0 [/mm] und deren summe ist das ja auch). [mm] F_{0}! [/mm] = 1 ist auch eine natürliche Zahl. das produkt zweier natürlichen zahlen ist wieder eine natürliche zahl. also sollte ja [mm] F_{n}! [/mm] auch eine nat. zahl sein. das ist der teil bei dem ich mir nicht mehr sicher bin... wenn das für [mm] F_{n}! [/mm] gilt, sollte es das ja eigentlich auch [mm] F_{k}! [/mm] und [mm] F_{n-k}!. [/mm] damit sind alle teile des bruchs [mm] \in \IN_0 [/mm] und die aussage ist bewiesen.
danke schonmal für die hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ich befürchte, dass das als Beweis nicht ausreicht. Guck mal, auch bei diesem Bruch sind alle Teile [mm] \in\IN, [/mm] und trotzdem wirst du nicht abstreiten wollen dass er erst Element der rationalen Zahlen ist:
[mm] \bruch{5}{6*7}
[/mm]
Es geht viel konkreter um die Frage, ob der Nenner Teiler des Zählers ist, d.h. eine Zahl [mm] s\in\IN [/mm] existiert sodass
Zähler = s*Nenner.
Bei dir müsste also ein [mm] s\in\IN [/mm] existieren sodass
[mm] F_{n}! [/mm] = [mm] s*(F_{k}!*F_{n-k}!)
[/mm]
Überlege, wie man [mm] F_{n} [/mm] geeignet aufteilen kann, sodass man die obige Gleichung zeigen kann. Vielleicht funktioniert auch ein Induktionsbeweis über n?
Grüße,
Stefan.
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