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| Aufgabe | Beweisen Sie, für alle n [mm] \in \IN [/mm] \ [mm] \{0,1\}
[/mm]
[mm] F_{n} \ge (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bräuchte Hilfe bei der genannten Aufgabe.
Man kann das doch bestimmt mittels Induktion beweisen. Dann wäre der Induktionsanfang mit n=2.
Muss ich [mm] F_{n} [/mm] durch eine Formel ersetzen?
Ich bitte um eure Hilfe.
Danke
Gruß
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin janhitt,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Beweisen Sie, für alle n [mm]\in \IN[/mm] \ [mm]\{0,1\}[/mm]
>
> [mm]F_{n} \ge (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
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> ich bräuchte Hilfe bei der genannten Aufgabe.
>
> Man kann das doch bestimmt mittels Induktion beweisen. Dann
> wäre der Induktionsanfang mit n=2.
>
> Muss ich [mm]F_{n}[/mm] durch eine Formel ersetzen?
Kennst du die explizite Bildungsvorschrift der Fibonaccifolge?
[mm] F_n= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right]
[/mm]
Der negative Term wird relativ schnell klein (wegschätzen!) und aus dem positiven kannst du [mm] \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^2 [/mm] ausgeklammern und damit kannst du zusätzlich das [mm] \frac1{\sqrt5} [/mm] wegschätzen.
Ich bin mir sicher, der Aufwand dazu ist nicht übermäßig hoch.
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> Ich bitte um eure Hilfe.
>
> Danke
> Gruß
> Jan
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mi 04.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Moin janhitt,
> !
> > Beweisen Sie, für alle n [mm]\in \IN[/mm] \ [mm]\{0,1\}[/mm]
> >
> > [mm]F_{n} \ge (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2}[/mm]
> > Hallo
> > zusammen,
> >
> > ich bräuchte Hilfe bei der genannten Aufgabe.
> >
> > Man kann das doch bestimmt mittels Induktion beweisen. Dann
> > wäre der Induktionsanfang mit n=2.
> >
> > Muss ich [mm]F_{n}[/mm] durch eine Formel ersetzen?
> Kennst du die explizite Bildungsvorschrift der
> Fibonaccifolge?
> [mm]F_n= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right][/mm]
>
> Der negative Term wird relativ schnell klein
> (wegschätzen!) und aus dem positiven kannst du
> [mm]\left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^2[/mm] ausgeklammern und damit
> kannst du zusätzlich das [mm]\frac1{\sqrt5}[/mm] wegschätzen.
>
> Ich bin mir sicher, der Aufwand dazu ist nicht übermäßig
> hoch.
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, dass die Kenntnis dieser Bildungsvorschrift vorausgesetzt wird. Für die Induktion wird [mm] F_{n+1} [/mm] auftauchen, und man wird hier sicher die "klassische" Definition [mm] F_{n+1}=F_n+F_{n-1} [/mm] benötigen. Da man dabei auf ZWEI vorhergehende Glieder zurückgreift, würde ich sicherheitshalber den Induktionsanfang nicht nur für n=2, sondern für n=2 und n=3 durchführen.
Gruß Abakus
> >
> > Ich bitte um eure Hilfe.
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> > Danke
> > Gruß
> > Jan
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jan!
Alternativ kannst Du hier auch die "klassische" rekursive Formeldarstellung der Fibonacci-Zahlen verwenden:
[mm]F_n \ = \ F_{n-1}+F_{n-2}[/mm] mit [mm]F_0 \ = \ 0[/mm] und [mm]F_1 \ = \ 1[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mi 04.05.2011 | | Autor: | janhitt85 |
Super, ich danke euch für die Tipps.
Ich werde mich gleich mal an die Arbeit machen.
Besten Dank!
Jan
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Damit komme ich dann auf folgendes:
[mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n-1}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] + [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-3}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] + [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}
[/mm]
jetzt ausklammern
= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] + (1 + 1 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1})
[/mm]
Es ist
(1 + 1 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}) [/mm] = [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1}
[/mm]
also:
[mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1}
[/mm]
Nun habe ich aber eine Gleichheit und nicht [mm] \ge
[/mm]
Und wie kann man zeigen, dass
1 + 1 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}) [/mm] = [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1}
[/mm]
Ich habe das einfach in den Taschenrechner eingetippt und es kam dasselbe heraus.
Danke & Gruß
Jan
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Hallo Jan,
dein erstes Gleichheitszeichen ist schonmal ein [mm] \ge [/mm] , womit sich dein Problem einer Gleichung erledigt hätte:
$1 + [mm] \left(\bruch{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2}{1+\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \bruch{3 + \sqrt{5}}{1+ \sqrt{5}}$
[/mm]
Nun erweiter den Bruch mal mit $(1 - [mm] \sqrt{5})$ [/mm] und form ein bisschen um 
MFG,
Gono.
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