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Fibonacci: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Di 08.05.2007
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Beweisen Sie mit Hilfe der Vollständigen Induktion

F(n-1)F(n+1) = [mm] f_n^2 [/mm] +1 für n [mm] \in \IN [/mm] , n gerade

Die folge ist folgendermaßen Definiert!

[mm] F_1:= [/mm] 1, [mm] F_2:= [/mm] 1 , [mm] F_n:= [/mm] F_(n-1) + F_(n+2), für n= 3,4 ...

Hallo zusammen,

ich bräuchte dringend Hilfe für oben genannte Aufgabe.
Und zwar gehts mir da wieder um den I.S ...

I.A. n=2

[mm] F_1 [/mm] * [mm] F_3 [/mm] = [mm] F_2^2 [/mm] + 1

I.S. n -> n+2 (wegen n gerade)

F_(n+1) * F_(n+3) = F_(n+2) ^2 +1

Kann mir jemand hierbei behilflich sein?

Danke und Grüße
Bodo0686

Diese Frage habe ich noch in keinem weiteren Forum gestelllt!


        
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 08.05.2007
Autor: M.Rex

Hallo.

Zuerst mal:

Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert:

[mm] f_{n}:=f_{n-1}+f_{n\red{-}2} [/mm]
[mm] f_{1}:=1, f_{2}:=1 [/mm]


[mm] f_{n+2} [/mm] macht keinen Sinn, da dier Wert noch nicht bekannt ist.

Also:
Ind-Anf. (n=3):
[mm] f_{3}=1+1=2, f_{4}=2+1=3 [/mm]
[mm] f_{3-1}*f_{3+1}=f_{2}*f_{4}=2+3=5=4+1=2²+1=f_{3}²+1 [/mm]

Ind-Vorauss.

für ein n gelte besagte Formel.

Ind-Schritt:

[mm] f_{n-1}*f(n+1)=(f_{n-3}+f_{n-2})(f_{n-1}+f_{n})=... [/mm]

Hilft das erstmal weiter?

Marius


Bezug
                
Bezug
Fibonacci: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Di 08.05.2007
Autor: Bodo0686


> Hallo.
>  
> Zuerst mal:
>  
> Die Fibonacci-Zahlen sind wie folgt definiert:
>  
> [mm]f_{n}:=f_{n-1}+f_{n\red{-}2}[/mm]
>  [mm]f_{1}:=1, f_{2}:=1[/mm]
>  
>
> [mm]f_{n+2}[/mm] macht keinen Sinn, da dier Wert noch nicht bekannt
> ist.
>  
> Also:
>  Ind-Anf. (n=3):
>  [mm]f_{3}=1+1=2, f_{4}=2+1=3[/mm]


In der Aufgabe steht, dass n gerade sein soll, aber warum setzt du jetzt n=3?


> [mm]f_{3-1}*f_{3+1}=f_{2}*f_{4}=2+3=5=4+1=2²+1=f_{3}²+1[/mm]
>  
> Ind-Vorauss.
>  
> für ein n gelte besagte Formel.
>  
> Ind-Schritt:
>  
> [mm]f_{n-1}*f(n+1)=(f_{n-3}+f_{n-2})(f_{n-1}+f_{n})=...[/mm]
>  
> Hilft das erstmal weiter?
>  
> Marius
>  

Nicht wirklich, ich muss ja schließen das [mm] F_{n-1} F_{n+1} [/mm] = [mm] F_n^2 [/mm] +1 ergibt im I.A.
So, und im I.S soll das ganze ja für n - > n+1 gezeigt, da aber n gerade sein soll, müsste man doch
eigentlich für n=2 setzen...???

Wie du auf den I.S kommst is mir ein bisschen unklar...

Bezug
                        
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 Di 08.05.2007
Autor: Ankh


> In der Aufgabe steht, dass n gerade sein soll, aber warum
> setzt du jetzt n=3?

Richtig, du solltest mit n=2 anfangen.


> Nicht wirklich, ich muss ja schließen das [mm]F_{n-1} F_{n+1}[/mm] =
> [mm]F_n^2[/mm] +1 ergibt im I.A.
>  So, und im I.S soll das ganze ja für n - > n+1 gezeigt, da

> aber n gerade sein soll, müsste man doch
> eigentlich für n=2 setzen...???

Im Induktionsschritt musst du von der Aussage für [mm] F_n [/mm] auf die Aussage für [mm] F_{n+2} [/mm] schließen (nicht [mm] F_{n+1}), [/mm] da wir nur gerade n betrachten.

>
> Wie du auf den I.S kommst is mir ein bisschen unklar...

Dort musst du die Definition der Folge einsetzen. (Ein Folgenglied ist die Summe seiner beiden Vorgänger.)

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