Fibonacci Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Mo 21.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo...
Ich soll den Grenzwert für k(n) / K(n-1) angeben wobei k(n) die Fibonacci folge ist...und n gegen undendlich tendiert.
Mir ist natürlich klar was die Fibonacci folge ist und auch normalerweise wie man einen Grenzwert ausrechnet..aber hier habe ich keine Ahnung? Kann man die Regel von de l'Hopital anwenden und ableitung durch ableitung? Dann bekomme ich aber keine Zahl oder?
Ich würde sagen es ist unendlich, habe aber keine Idee es zu beweisen...
Danke.
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich soll den Grenzwert für k(n) / K(n-1) angeben wobei
> k(n) die Fibonacci folge ist...und n gegen undendlich
> tendiert.
> Mir ist natürlich klar was die Fibonacci folge ist und
> auch normalerweise wie man einen Grenzwert ausrechnet..aber
> hier habe ich keine Ahnung? Kann man die Regel von de
> l'Hopital anwenden und ableitung durch ableitung?
??? Versuch' mal, das zu präzisieren bzw. auszuführen.. ich denke nicht, dass Dich das auch nur ansatzweise weiterbringt. Wie willst Du denn schon mit der Ableitung arbeiten, wenn Du keine differenzierbare Funktion hast? Natürlich kann man generell auch manche Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit differenzierbaren Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] untersuchen, aber dann wendet man zunächst Hospital auf [mm] $f\,$ [/mm] an, erhält damit ein Ergebnis, wogegen $f(x)$ (z.B.) für $x [mm] \to \infty$ [/mm] strebt und beachtet dann, dass [mm] $a=f_{|\IN}$ [/mm] (d.h. [mm] $a_n=f(n)$ [/mm] für alle [mm] $n\,$) [/mm] ist.
Bei Deiner Aufgabe hilft Dir aber sicher eher die ![[]](/images/popup.gif) explizite Darstellung der [mm] $n\,$-ten [/mm] Fibonacci-Zahl. Falls Dir diese noch nicht bekannt ist, dann solltest Du, denke ich, diese Darstellung (nach Binet) per Induktion beweisen können.
P.S.:
Vgl. auch Wiki, Fibonacci-Folge.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 21.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
danke erstmals...!
Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, dass ich gerade das Thema induktion habe...der Beweis wäre dann eifach weill ja k(n+1) auf k(n) aufbaut und immer grösser wird ist der Grenzwert einfach unendlich? Das ist der Beweis (unmathematisch formuliert..)
Gruss
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> danke erstmals...!
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> Ich hätte vielleicht erwähnen sollen, dass ich gerade das
> Thema induktion habe...der Beweis wäre dann eifach weill
> ja k(n+1) auf k(n) aufbaut und immer grösser wird ist der
> Grenzwert einfach unendlich? Das ist der Beweis
> (unmathematisch formuliert..)
>
> Gruss
Hallo qsxqsx,
ich hoffe, dass du schon mal so das erste Dutzend
Glieder k(1), k(2), k(3), ...... k(12) hingeschrieben
und die entsprechenden Quotienten
$\ [mm] q_1=\frac{k(2)}{k(1)}\ [/mm] ,\ [mm] q_2=\frac{k(3)}{k(2)}\ [/mm] ,\ [mm] q_3=\frac{k(4)}{k(3)}\,,\,.....\,,\,q_{11}=\frac{k(12)}{k(11)}$
[/mm]
berechnet und betrachtet hast. Wenn nein, tue es
noch und schau dir die Quotienten an.
Um die Konvergenz der Folge nachzuweisen, kann
man sich z.B. einmal mit Beschränktheits- und
Monotonieeigenschaften beschäftigen.
Wenn aber einmal feststeht, dass es wohl einen
Grenzwert geben müsste, führt eine einfache
Überlegung zu einer Gleichung, aus der man
seinen exakten Zahlenwert berechnen kann.
Tipp: Falls ein Grenzwert a existiert, dann müssten
sich drei aufeinanderfolgende Glieder mit sehr
hohen Nummern N, N+1, N+2 nur noch um sehr
wenig von a unterscheiden, d.h.
$\ [mm] q_N \approx\ q_{N+1} \approx\ q_{N+2}\ \approx\ [/mm] a$
Für diese drei Glieder muss natürlich die Rekursi-
onsformel auch gelten.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mo 21.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Danke für die Ausführliche Antwort! Ich habe mir hier wirklich zu wenig überlegt...nicht einmal die ersten Brüche aufgeschrieben...ich glaube es ist mir jetzt klar...tut mir leid, ich war ein bisschen zu faul...
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Ausführliche Antwort! Ich habe mir hier
> wirklich zu wenig überlegt...nicht einmal die ersten
> Brüche aufgeschrieben...ich glaube es ist mir jetzt
> klar...tut mir leid, ich war ein bisschen zu faul...
ja, dem muss ich leider zustimmen 
Lies' doch einfach mal in dem von mir gegebenen Link von Wikipedia nach, in welchem Zshg. die Fibonaccifolge mit dem Goldenen Schnitt steht, und versuch', die dortige Behauptung mit der expliziten Darstellung zu beweisen.
P.S.:
Nur zur Klärung:
[mm] $k(n+1)/k(n)\,$ [/mm] (oder meinetwegen auch [mm] $k(n)/k(n-1)\,$) [/mm] strebt keineswegs gegen [mm] $\infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] sondern, wie bei Wikipedia auch steht, gegen...
Gruß,
Marcel
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