Fibonacci Induktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Sa 12.02.2011 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \N [/mm] und [mm] F_{n} [/mm] das n-te Glied in der Fibonacci-Folge. Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i=0}^{n} {F_{i}}^{2} [/mm] = [mm] F_{n}F_{n + 1} [/mm] |
Ich hab die Aufgabe über Induktion gerechnet
[mm] F_{0} [/mm] = 0
[mm] F_{1} [/mm] = 1
IA:
n = 0.
linke Seite: [mm] 0^{2} [/mm] = 0
rechte Seite: 0 * 1 = 0
Induktionsvorraussetzung:
zu zeigen:
[mm] \summe_{i = 0}^{n + 1} {F_{i}}^{2} [/mm] = [mm] F_{n + 1}F_{n + 2}
[/mm]
Induktionsschritt
[mm] \summe_{i = 0}^{n + 1} {F_{i}}^{2} [/mm] = [mm] (F_{n + 1})^{2} [/mm] + [mm] \summe_{i = 0}^{n} {F_{i}}^{2} [/mm] = [mm] (F_{n + 1})^{2} [/mm] + [mm] F_{n}F_{n + 1} [/mm] = [mm] (F_{n + 1}) [/mm] * [mm] (F_{n + 1} [/mm] + [mm] F_{n}) [/mm] = [mm] F_{n + 1}F_{n + 2}
[/mm]
Stimmt das so? Kann ich das so auch in der Klausur machen?
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Hi,
> Sei n [mm]\in \N[/mm] und [mm]F_{n}[/mm] das n-te Glied in der
> Fibonacci-Folge. Zeigen Sie:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} {F_{i}}^{2}[/mm] = [mm]F_{n}F_{n + 1}[/mm]
> Ich hab die
> Aufgabe über Induktion gerechnet
>
> [mm]F_{0}[/mm] = 0
> [mm]F_{1}[/mm] = 1
>
> IA:
>
> n = 0.
> linke Seite: [mm]0^{2}[/mm] = 0
> rechte Seite: 0 * 1 = 0
>
> Induktionsvorraussetzung: [mm] \summe_{i = 0}^{n} {F_{i}}^{2} [/mm] = [mm] F_{n}F_{n + 1}
[/mm]
> zu zeigen:
>
> [mm]\summe_{i = 0}^{n + 1} {F_{i}}^{2}[/mm] = [mm]F_{n + 1}F_{n + 2}[/mm]
>
> Induktionsschritt
> [mm]\summe_{i = 0}^{n + 1} {F_{i}}^{2}[/mm] = [mm](F_{n + 1})^{2}[/mm] + [mm]\summe_{i = 0}^{n} {F_{i}}^{2}[/mm] = [mm](F_{n + 1})^{2}[/mm] + [mm]F_{n}F_{n + 1}[/mm] = [mm](F_{n + 1})[/mm] * [mm](F_{n + 1}[/mm] + [mm]F_{n})[/mm] = [mm]F_{n + 1}F_{n + 2}[/mm]
>
> Stimmt das so? Kann ich das so auch in der Klausur machen?
Einwandfrei! 
Gruß
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