Fichtenwachstum < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab kurz ein Denkproblem glaub ich.
Es geht um folgendes
f(t) ist eine Funktion die die Wachstumsgeschwindigkeit in [mm] \bruch{m}{Jahr} [/mm] angibt.
Dann sagt der Text " Zeigen Sie dass durch F(t)=.... eine Stammfkt. von f gegeben ist"
Dann soll ich die Höhe der Fichte nach 20 Jahren berechnen.
1. Die Stammfunktion einer Geschwindigkeitsfkt ist doch eine Strecken/Höhenfkt oder?
2. Falls die Stammfkt. nur eine Stammfkt ist aber nichtdie gesuchte Höhenfkt (also wenn der "frei wählbare" Summand C nicht stimmt) wie komm ich dann an c um die gesuchte Höhe zu berechnen'?
Vielen Lieben Dank
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 22.02.2009 | | Autor: | prfk |
Moin
> 1. Die Stammfunktion einer Geschwindigkeitsfkt ist doch
> eine Strecken/Höhenfkt oder?
Jo! Die Ableitng der Strecke ist die Geschwindigkeit. Also muss die Stammfunktion einer Geschwindigkeit eine Strecke ergeben.
> 2. Falls die Stammfkt. nur eine Stammfkt ist aber nichtdie
> gesuchte Höhenfkt (also wenn der "frei wählbare" Summand C
> nicht stimmt) wie komm ich dann an c um die gesuchte Höhe
> zu berechnen'?
Die Konstante C ist sowas wie ein Startwert. Wenn also zum Alter 0 der Baum schon etwas gewachsen ist, so wäre dies die Konstante C. (Was in diesem Beispiel Käse ist, denn ein Baum kann bei Alter 0 noch nicht gewachsen sein.)
Betrachtet man jedoch ein Auto und eine gefahrene Strecke, so kann es sein, dass das Auto bereits vor einem Zeitpunkt 0 eine Strecke zurückgelegt hat.
Fruß
prfk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 22.02.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das C brauchst du nicht: Wenn du deine Wachstumsfkt. hast, und daraus die Höhe berechnen willst, integrierst du ja über diese Funktion. Falls du wissen willst, wie viel die Fichte seit Beginn (also zB t=0) gewachsen ist, integrierst du bestimmt über deine Wachstumsfunktion. D.h. dein C in der Stammfunktion wird sich durch die Differenzbildung eh wieder raushauen.
LG
Kroni
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vielen dank schon mal!
ich hab Wachstumsgeschwindigkeit: [mm] f(t)=0,02t^2*e^{-0,1t}
[/mm]
Stammfkt: [mm] F(t)=-0,2*(t^2+20t+200)*e^{-0,1t}
[/mm]
Kann ich nicht t=20 in F(t) einsetzen um die Höhe nach 20 Jahren zu ermitteln? Wieso bekomm ich da -27 raus?
LG
Andi
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Hallo Loddar!
vielen Dank..
Doch wieso muss ich eine Differenz bilden... ich mein gut F(t) ermittle ich ja via Integral.. aber es ist doch eine normale Höhenfkt
Wieso muss man bei einer Höhenfkt eine Differenzrechnung vornehmen?
LG
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 22.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Es gilt immer:
[mm] $$\integral_{a}^{b}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x) \ \right]_a^b [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$$
In Deinem Falle beginnt die Integration bei [mm] $t_1 [/mm] \ = \ 0$ , so dass Du am Ende $-F(0)_$ rechnen musst.
Dies wird bei ganzrationalen Funktionen gerne etwas schluderig behandelt bzw. einfach weggelassen, da hier gilt: $F(0) \ = \ 0$ .
Aber bei e-Funktionen und auch trigonometrischen Funktionen darf man $-F(0)_$ eben nicht einfach weglassen.
Gruß
Loddar
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Vielen lieben Dank Loddar!
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
kann man es auch folgendermaßen erklären? :
F(t) ist eine Stammfkt... nicht die gesuchte Höhenfkt.
Ich muss erst C berechnen, ich weiß F(0)=0... ich berechne das für obige Stammfkt. und bekomm dann einen Wert raus, den ich als -c in unsere Stammfkt einfügen muss..
Dann hab ich die gesuchte Höhenfkt... Kann man so also auch den Abzug von F(o) erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 So 22.02.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
so kann man das auch erklären. Da du ja mit deiner unbestimmen Integration die SF bis auf eine Konstante C festgelegt hast, steht das unbestimme Integral ja für eine Stammfunktionen-Schar. Durch die Normierung F(0)=0 suchst du dir aus der Schar genau die eine, passende SF aus der ganzen Schar heraus.
Deutlich schneller aber gehts natürlich, wenn du einfach bestimmt integrierst.
LG
Kroni
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