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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Do 05.08.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Let (X,Y) be a random vector in [mm] \IR^{2}. [/mm] Let (X,Y) have joint density f.
Find the distribution of Z = XY
(Hint: Use the map g(x,y) = (xy,x)) |
Hallo Zusammen
Ich habe diese Aufgabe mal versucht zu lösen.. aber irgendwie komme ich nicht auf den Schluss.. ich fang mal an:
Mit dem Hinweis habe ich die Abbildung g(x,y) = (xy,x). Die Umkehrabbildung ist also gegeben durch [mm] g^{-1}(u,v) [/mm] = (v, u/v).
Ich berechne jetzt die Jacobi-matrix, J = [mm] \pmat{0 & 1/v \\ 1 & -u/v^{2}} [/mm] und erhalte det(J) = -1/v
Und jetzt? Ich hab das gemacht, um dem Hinweis zu folgen, aber ich weiss nicht, wie ich hier weiter machen kann..
Ich wäre froh, um ein bisschen Hilfe.. :)
Grüsse, Arcesius
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> Let (X,Y) be a random vector in [mm]\IR^{2}.[/mm] Let (X,Y) have
> joint density f.
> Find the distribution of Z = XY
> (Hint: Use the map g(x,y) = (xy,x))
> Hallo Zusammen
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> Ich habe diese Aufgabe mal versucht zu lösen.. aber
> irgendwie komme ich nicht auf den Schluss.. ich fang mal
> an:
>
> Mit dem Hinweis habe ich die Abbildung g(x,y) = (xy,x). Die
> Umkehrabbildung ist also gegeben durch [mm]g^{-1}(u,v)[/mm] = (v,
> u/v).
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> Ich berechne jetzt die Jacobi-matrix, J = [mm]\pmat{0 & 1/v \\ 1 & -u/v^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> und erhalte det(J) = -1/v
>
> Und jetzt? Ich hab das gemacht, um dem Hinweis zu folgen,
> aber ich weiss nicht, wie ich hier weiter machen kann..
>
>
> Ich wäre froh, um ein bisschen Hilfe.. :)
>
> Grüsse, Arcesius
Hallo Arcesius,
ich habe zwar noch kaum jemals so etwas in der Art gemacht,
aber auch gerade darum will ich es einmal versuchen. Wir haben
also über der x-y-Ebene eine (ich nehme einmal an wenigstens
stetige) Dichteverteilung. Anschaulich gedacht entspricht dem
eine Fläche, die über der x-y-Ebene ausgebreitet ist und mit
dieser zusammen ein Volumen der Größe 1 einschließt. Die
Gleichung der Fläche ist $\ z\ =\ f(x,y)$.
Da ich hier eine (geometrisch gedachte) z-Koordinate verwende,
bezeichne ich das Produkt der Zufallsgrößen X und Y lieber
mit P, also:
$\ P\ :=\ X*Y$ anstatt $\ Z\ :=\ X*Y$ (!)
Nun wird zum Zweck der Berechnung der Verteilung von P
eine Koordinatentransformation g von (x,y) zu (u,v) vorgeschlagen.
Diese Transformation hat die Jacobi-Matrix
$\ J_g\ =\ \pmat{y&x\\1&0}$ mit $\ det(J_g)\ =\ -x$
Diese (oder die entsprechende Determinante für die Umkehr-
funktion g^{-1} ) brauchen wir für die korrekte Umrechnung
von der Verteilungsfunktion f(x,y) zur entsprechenden Vertei-
lungsfunktion \overline{f}(u,v). Diese muss nämlich so geschehen,
dass $\ f(x,y)*dx*dy$ = $\ \overline{f}(g(x,y))*du*dv$ wird.
Dies erreicht man, wenn man
$\overline{f}(g(x,y))*Det(J_g)\ =\ f(x,y)$
verlangt. Das ist gleichbedeutend mit
$\overline{f}(g(x,y))\ =\ f(x,y)*Det(J_{g^{-1}})\ =\ \frac{f(x,y)}{Det(J_g)$
Die Transformation g bewirkt, dass alle früheren Punkte aus der
x-y-Ebene, für welche das Produkt P=X*Y einen konstanten Wert
annimmt, auf eine achsenparallele Gerade in der u-v-Ebene,
nämlich die Gerade u=P , abgebildet werden. Dies bedeutet,
dass man, um die (1D-)Wahrscheinlichkeitsdichte für P zu erhalten,
einfach die (2D-)Wahrscheinlichkeitsdichte längs dieser Geraden
von v=-\infty bis v=+\infty integrieren kann.
Die letzten Details will ich jetzt hier nicht ausführen.
LG Al-Chw.
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