Finden Quadratischer Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In meinem Thread (Nr. 1063923) "Verkehrte Welt" hatte ich gefragt, ob es möglich sei, aus einer Ergebnisformel zurück zur Aufgabe zu kommen.
Anscheinend war das in dem Beispiel aber doch nicht so einfach möglich.
Angeregt durch Al-Chwarizmi, der meine Formel noch "vereinfacht" hat und durch Fred, der das Ganze "mathematisch-abstrakter" sah, möchte ich die Aufgabe etwas umformulieren:
Welche quadratische Ungleichung ergibt sich aus folgender Lösungsmenge?
[mm]\bruch{a}{4}\left(1 - \wurzel{\bruch{1}{a-1}}\right)\ \ <\ \ x\ <\ \ \bruch{a}{4}\left(1 + \wurzel{\bruch{1}{a-1}}\right)[/mm] |
Die Antwort wäre dann:
[mm]x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{a}{2}*x[/mm] + [mm]\bruch{a^{2}(a-2)}{16(a-1)}[/mm] < 0
Meine Frage dazu:
Wäre denn die obige Aufgabe ohne weiteres lösbar? Auf die genannte Lösungsmenge war ja Al-Chwarizmi gekommen, indem er meine Formel "vereinfacht" hatte, so dass man die p-q-Formel nicht mehr so leicht erkennen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 So 20.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] und [mm] M:=\{x \in \IR:a
Deine Aufgabe lautet also: finde u,v [mm] \in \IR [/mm] mit folgender Eigenschaft:
[mm] $x^2+ux+v<0 \quad \gdw \quad [/mm] x [mm] \in [/mm] M.$
Die Lösung hat man aber ratzfatz: die quadratische Ungleichung lautet:
$(x-a)(x-b)<0$.
Also: $u=-(a+b)$ und $v=ab.$
FRED
P.S.: keine Urnen ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 So 20.09.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> Deine Aufgabe lautet also: finde u,v [mm]\in \IR[/mm] mit folgender Eigenschaft: [mm]x \in M.[/mm]
Ja, genau das war gemeint (wobei ich allerdings nicht weiß, was das [mm]x \in M.[/mm] bedeuten soll. Ist aber wohl nicht so entscheidend)
> Die Lösung hat man aber ratzfatz
Ja, da gebe ich dir insofern recht, dass es einen eindeutigen Lösungsweg gibt (wie bei allen "normalen" Aufgaben).
> Die quadratische Gleichung lautet:
> [mm](x-a)(x-b)<0[/mm]
Das halte ich für ziemlich verwirrend.
Was soll denn das a und das b in diesem Fall konkret sein?
Ich habe als "Ausgangsmaterial" nur [mm] \bruch{a}{4}\left(1-\wurzel{\bruch{1}{a-1}}\right)
[/mm]
>
> Also: [mm]u=-(a+b)[/mm] und [mm]v=ab[/mm]
Wie gesagt: Wenn ich nicht weiß, was a und was b sein soll, dann kann ich auf diese Weise auch nicht das u und das v rauskriegen.
Offensichtlich ist u aber [mm] \bruch{a}{2}, [/mm] und v ist [mm] \bruch{a^{2}(a-2)}{16(a-1)}. [/mm]
Das schreibe ich aber nur, weil ich die Lösung bereits kenne.
> FRED
>
> P.S.: keine Urnen ??
Nein, DU "wolltest" die Sache doch so abstrakt haben. Also ohne Urnen.
Aber diese Aufgabe hat mit der urspünglichen Urnen-Aufgabe kaum mehr etwas zu tun (außer, dass es sich um dieselbe Formel handelt), da man ja quasi auf halbem Wege aufgehört hat, also mit dem Erreichen der Quadratischen (Un-)Gleichung.
Das anschließende Problem war dann ja, wie man aus dieser Ungleichung eine (Urnen-)Aufgabe formen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Mo 21.09.2015 | | Autor: | rabilein1 |
@ Fred:
Jetzt ist es mir klar geworden, wie du das gemeint hast:
a sollte [mm]\bruch{a}{4}\left(1-\wurzel{\bruch{1}{a-1}}\right)[/mm] sein, und
b sollte [mm]\bruch{a}{4}\left(1+\wurzel{\bruch{1}{a-1}}\right)[/mm] sein.
Leider hattest du das nicht so deutlich erwähnt.
Auf diese Weise findet man die Lösung sicherlich etwas schneller als so, wie ich es gemacht hatte
(ich hatte [mm]\bruch{a}{4}\left(1-\wurzel{\bruch{1}{a-1}}\right)[/mm] als Teil der p-q-Formel angesehen. Dabei war [mm] \bruch{a}{4} [/mm] der p-Teil, und jetzt musste man aus dem Rest das q berechnen. Das war zwar etwas umständlich, aber dennoch war es zielführend möglich).
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