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| Aufgabe | | Finden sie eine Zahl mit "ROH"(x) >=4 |
hallo.
weitere frage meines netten profs.
ich soll eine zahl x finden, deren ROH(x) größer/gleich 4 ist.
ich habe es mit primzahlen versucht, da funktioniert es nicht. ich habe mit sämtlichen anderen zahlen herumgerechnet, aber auch das brachte nichts.
ich bin mit meinen ideen am ende.
gibt es einen trick oder stumpfes suchen bis der arzt kommt?
wenn ihr eine zahl x für mich hättet wäre ich euch dankbar, ich komme nicht weiter.
mfg
und danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ist "ROH"(x) ??
FRED
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"ROH" (x) ist die zahlentheoretische funktion.
sie ist definiert durch:
"ROH" (x) = "SIGMA" (x) : x und die zahl die dabei raus kommt, sollte größer/gleich 4 sein.
bsp:
x=13
SIGMA (13) = 14 --- 14:13=1,0... also kleiner 4. also leider falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
sagst du jetzt noch was Sigma(x) ist? nach deinem Beispiel einfach Sigma(x)=x+1 ?
Gruss leduart
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SIGMA (4) = SIGMA (2²) = SIMGA (1+2+4) = 7
schema verstanden?
1. Primfaktorzerlegung von x machen
2. möglichkeiten ausschreiben (2² = [mm] 2^0 [/mm] + [mm] 2^1 [/mm] + 2² = 7)
so kommt man aufs SIGMA
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> Hallo
> sagst du jetzt noch was Sigma(x) ist?
Hallo,
nur falls Du hoenigerjungs Erklärung nicht folgen kannst:
[mm] \sigma [/mm] soll wohl die Teilersummenfunktion sein,
[mm] \sigma(n)=\summe_{t|n}t
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo hoenigerjung,
vorab: den griechischen Buchstaben [mm] \rho [/mm] transkribiert man in anderer Buchstabenreihenfolge, nämlich "rho". So gibt man ihn hier auch ein, nur mit einem "backslash" davor: \rho ergibt [mm] \rho.
[/mm]
Also dass Du "alle Zahlen" durchprobiert hast, kann ich Dir nicht glauben.
Hier eine Zahl mit [mm]\rho>4[/mm]: [mm] 2^6*3^4*5^2*7^2*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83
[/mm]
ausgerechnet ergibt sich eine 37-stellige Zahl, die mit 807603... beginnt. Ich habe hier leider gerade keinen Langzahlenrechner zur Hand und keine Lust, nach einem Online-Angebot zu suchen.
Dir ist sicher bewusst, dass die Reihe [mm] \sum{\bruch{1}{k}} [/mm] divergent ist. Um eine Zahl n zu finden, deren [mm] \rho{(n)}>a [/mm] ist, genügt es vollauf, ein m zu finden, das [mm] \sum_{k=2}^{m}{\bruch{1}{k}}>a [/mm] erfüllt. Für a=4 ist m=83 das erste, das die Bedingung erfüllt. Dann ist n=kgV(1...m), oder, wenn Du zu faul zum kgV bist, meinetwegen auch einfach n=m!.
Trotzdem muss die oben vorgeschlagene Zahl nicht die kleinste sein, deren [mm] \rho [/mm] genügend groß ist. Ich weiß halt nur, dass ihre 82 (sic) größten Teiler zusammenaddiert mehr als viermal so groß sind wie die Zahl selbst. Und das genügt ja für diese Aufgabe.
Die Primfaktoren der vorgeschlagenen Zahl genügen, um alle Zahlen bis einschließlich 83 darzustellen.
Interessant wäre jetzt noch, die kleinste Zahl v zu finden, für die gilt [mm] \rho{(v)}>4.
[/mm]
lg
reverend
PS: Ganz analog ergibt \sigma [mm] \sigma.
[/mm]
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ok danke dir! habe auch selber noch eine gefunden!
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Do 26.11.2009 | | Autor: | reverend |
Fein, ich auch:
[mm] 2^8*3^5*5^3*7^2*11^2*13^2*17^2=2.251.760.775.264.000
[/mm]
Das wird ja langsam fast übersichtlich.
Ich bin ziemlich sicher, dass das immer noch nicht die kleinstmögliche ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:26 Fr 27.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
leider war mein Tag voll (und die nächsten werden es auch), so dass ich nur ab und zu ein paar Minuten Suche aufwenden kann, manchmal vielleicht auch einen signifikanten Teil einer Stunde.
Jedenfalls kann ich nun eine noch deutlich kleinere Zahl anbieten als bisher:
[mm] 367.567.200=2^5*3^3*5^2*7*11*13*17
[/mm]
Es geht sehr wahrscheinlich noch kleiner, aber nicht mehr viel. Ich nehme an, dass die kleinste Zahl mit der geforderten Eigenschaft in der Größenordnung [mm] 1,5*10^7 [/mm] liegt, aber außer dass ich vielleicht eine solche Zahl finde, habe ich weder Ahnung noch Idee, wie man das eigentlich beweist.
Ob ich morgen Zeit habe, darüber nachzudenken, ist noch nicht abzusehen. Es würde mich freuen, wenn jemand weitere Hinweise zu einer grundsätzlichen oder auch "nur" kleineren Lösung hat. 
lg
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Fr 27.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo an alle, die's noch interessiert!
Ich hatte gestern Nacht wohl eine Denkblockade. Es geht noch viel viel kleiner. Ich meine, sogar argumentieren zu können, dass die folgende Lösung die kleinste ist:
[mm] n=27720=2^3*3^2*5*7*11
[/mm]
[mm] \sigma{(n)}=112320,\quad\rho{(n)}=4,0519...
[/mm]
Mit folgender Methode habe ich sie gefunden. Man setze eine Grenze g, bis zu der alle Zahlen aus Faktoren des gesuchten n dargestellt werden können. Ich hatte vermutet, dass g in der Größenordnung von 18 oder 19 liegt - daher auch die letzte Lösung davor. Es genügt aber tatsächlich die 11. Von allen kleineren Primzahlen muss dann die höchste Potenz, die kleiner als 11 ist, auch enthalten sein, daher die obige Faktorisierung.
Wird g=10 gesetzt, entfällt also nur die 11, es folgen n=2520, [mm] \sigma{(n)}=9360, \rho{(n)}=3\bruch{5}{7}.
[/mm]
Dass nun kein kleineres n als das oben genannte zu finden ist, folgt m.E. aus einer Überlegung, die auf dem Sieb des Eratosthenes gründet. Man könnte ja z.B. versuchen, zwar die 11 zu streichen, aber dafür noch zwei- oder dreimal den Faktor 2 mit hineinzunehmen. Das Sieb allerdings zeigt, dass dann (rein statistisch) weniger Zahlen "neu gestrichen" werden, als durch den Wegfall der 11 wieder dazugekommen sind. Dies gilt für jeden (auch zusammengesetzen) Faktor, der statt der 11 hinzugenommen wird, es sei denn, er ist >11. Dann aber wäre das neue n ja auch größer als das bisherige.
Ein Nachtrag zur in meinem letzten Post genannten Zahl:
[mm] \sigma{(367567200)}=5,14...
[/mm]
Der Fall [mm] \rho=5 [/mm] scheint etwas schwieriger und lässt mich an der Argumentation oben zweifeln. Das kleinste n, das ich hier gefunden habe ist
n=122522400, also genau ein Drittel der angegebenen Zahl.
Dann ist [mm] \sigma{(n)}=614210688 [/mm] und [mm] \rho{(n)}=5,013...
[/mm]
Allerdings ist [mm] 122522400=2^5*3^2*5^2*7*11*13*17, [/mm] was mit der Argumentation oben ja nicht ganz übereinstimmt.
Hat jemand eine Idee zu einem systematischeren Vorgehen?
Liebe Grüße
reverend
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jo damit gings, ich danke dir!!
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