Finden der Funtkionsgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Jennifer |
Also wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. Die Aufgabe ist schon fast gelöst. Es muss nur noch der Groschen fallen ;)
Für jedes t > 0 ist eine Funktion [mm] f_t(x)= [/mm] t*(x-x²)
Ihr Schaubild sei [mm] C_t. [/mm] Gib die Schnittpunkte von [mm] C_t [/mm] mit der x-Achse an. Das Schaubild [mm] K_t [/mm] einer ganzrationalen Funktion [mm] g_t [/mm] dritten grades hat mit [mm] C_t [/mm] die Schnittpunkte mit der x-Achse gemeinsam. Im linken Schnittpunkt berührt [mm] K_t [/mm] die Kurve [mm] C_t, [/mm] im rechten schnittpunkt schneidet [mm] K_t [/mm] die Kurve [mm] C_t [/mm] rechtwinklig. Bestimme die Gleichung von [mm] g_t
[/mm]
Also die Schnittpunkte mit der x- Achse lauten [mm] S_1(0/0) [/mm] und [mm] S_2(1/0)
[/mm]
Die allgemeine Gleichung der Funktion dritten Grades lautet: y=ax³+bx²+cx+d
Ich muss nun 4 Gleichungen aufstellen um auf a,b,c, und d zu kommen. Die ersten beiden sind ja relativ einfach zu finden.
1: 0=0+0+0+1
2: 0=1a+1b+1c+1d
Aber wie kommt man auf die anderen? Muss man womöglich den Anstieg berechnen und dann die erste Ableitung der Funtkion dritten Grades bilden? Der Anstieg m wäre ja aber abhänig von t.
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Zuerstmal zu deinen bereits gefundenen Gleichungen:
du gehst ja von der allg. Funktionsgleichung 3. Grades aus: [mm]y=ax^3+bx^2+cx+d[/mm].
Wenn du jetzt den Punkt [mm]S_1(0/0)[/mm] einsetzt, dann ergibt sich:
[mm]0=a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]d=0[/mm].
Wahrscheinlich hast du's nur ein wenig komisch aufgeschrieben.
Die zweite Gleichung ist richtig, aber da kannst du jetzt schon das gefundene [mm]d=0[/mm] einsetzen.
Jetzt zu den restlichen 3 Bedingungen: wenn du was von "berühren sich" oder "schneiden sich orthogonal" hörst, dann geht's um die Steigung.
Zwei Kurven berühren sich an einer Stelle [mm]x_0[/mm], wenn sie dort denselben y-Wert haben (also [mm]f(x_0)=g(x_0)[/mm]), und dort auch dieselben Steigungen haben: [mm]f'(x_0)=g'(x_0)[/mm].
Die Bedingung mit denselben y-Werten hast du schon für die ersten beiden Gleichungen eingesetzt, also fehlt hier nur noch, dass die Kurve der gesuchten Funktion bei [mm]x=0[/mm] dieselbe Steigung haben soll, wie die gegebene Funktion. Und Steigungen bestimmt man mit der ersten Ableitung.
Orthogonalität hat auch was mit Steigungen zu tun. Es gilt:
[mm]m_1[/mm] senkrecht [mm]m_2[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]m_1 \cdot m_2 = -1[/mm].
Diese Gleichung kannst du z.B. nach [mm]m_1[/mm] umstellen: [mm]m_1=-\bruch{1}{m_2}[/mm].
Wenn du also eine Steigung hast, und du willst die dazu senkrechte Steigung bestimmen, dann setz die bekannte Steigung für [mm]m_2[/mm] ein, und du erhältst das dazu senkrechte [mm]m_1[/mm].
Dafür wirst du auch hier wieder die Steigung der gegebenen Kurve an der Stelle [mm]x=1[/mm] berechnen müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Jennifer |
ähm kurze zwischenfrage: m ist doch abhängig vom parameter t. wie errechen ich denn dann m?
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Hallo Jennifer,
> ähm kurze zwischenfrage: m ist doch abhängig vom parameter
> t. wie errechen ich denn dann m?
>
[mm] $m_t [/mm] = f'_t(x)$
Das kannst du doch bestimmt selbst ausrechnen, oder?
e.kandrai hat dir nur allgemein die Bedingungen zeigen wollen. 
Klickt's jetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Jennifer |
ja, mir ist schon klar, dass dann -t und t als anstieg herauskommt, aber zur zeit sehe ich da noch keinen weg, wie mir das weiterhelfen könnte, den anstieg zu berechnen.
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Hallo,
damit sind 2 der 4 Parameter festgelegt.
Muß es nicht heissen: -1/t und t?
Gruß
MathePower
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Fassen wir mal zusammen:
[mm] $f_t(x)=t(x-x^2)$ \Rightarrow [/mm] NSt.: x=0 oder x=1
Steigungen: $f'_t(0)=t$ und $f'_t(1)=-t$
[mm] $g_t(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
[/mm]
gemeinsame Nullstellen: [mm] g_t(0)=0 [/mm] und [mm] g_t(1)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] d=0 und 0=a+b+c
gemeinsame Steigung bei x=0: g'_t(0)=t = c
orthogonaler Anstieg bei x=1: [mm] g'_t(1)=\bruch{1}{t}
[/mm]
bleiben zwei Gleichung für a und b:
0 = a+b+t
3a + 2b + t = [mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
aus denen bestimmt man $a = [mm] \bruch{1+t^2}{t}$ [/mm] und $b = - [mm] \bruch{2t^2+1}{t}$
[/mm]
bitte nachrechnen!
Somit erhält man die gesuchte Funktion [mm] g_t:
[/mm]
[mm] $g_t(x)= \bruch{1+t^2}{t}*x^3 [/mm] - [mm] \bruch{2t^2+1}{t}x^2+tx$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Ordnung) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 31.12.2004 | | Autor: | Jennifer |
Viele Dank :) Ich habe mir die seite gestern ausgedruckt und alles noch mal in Ruhe durchgedacht und nachgerechnet. Und ich glaube, dass ich es jetzt endlich verstanden habe :)
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