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Finite Differenzen: Diskretisierung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 So 23.03.2014
Autor: Trolli

Aufgabe
[mm] $-u''(x)+2u'(x)=x^2,\ [/mm] \ [mm] x\in [/mm] (0,2.5)$
$u(0)=1,\ \ u(2.5)=3$
Führen Sie eine Finite-Differenzen-Diskretisierung mit der Gitterweite h=1/2 durch, d.h. stellen Sie das zu lösende Gleichungssysten auf. Benutzen Sie dabei für die Approximation der ersten Ableitung den zentralen Differenzenquotienten
[mm] $u'(x)\approx \frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}$ [/mm]

Hallo,

habe hier eine Übungsaufgabe (leider nur schlecht kopiert) und komme nicht zurecht. Das Skript kann ich mir erst nächste Woche besorgen und hoffe mir kann dabei jemand weiterhelfen.

[mm] $u''(x)\approx\frac{u(x_{i+1})-2u(x_i)+u(x_{i-1})}{h^2}$ [/mm]
[mm] $u''_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$ [/mm]
[mm] $u'_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}$ [/mm]

Auf dem Intervall [0,2.5] mit Schrittweite 0.5 gibt es 4 innere Punkte, also müssen 4 Gleichungen aufgestellt werden.
Bei den linken Seiten der Gleichungen wird ja nur eingesetzt und [mm] $u_0$ [/mm] und [mm] $u_5$ [/mm] fallen weg. Aber wie kommen die rechten Seiten zustande? Leider ist bei der Kopie der Rand sehr verschwommen, ich konnte nur das Ergebnis von i=2 und i=3 erkennen.

i=1 [mm] $-(\frac{u_2-2u_1+u_0}{h^2})+2(\frac{u_2-u_0}{2h})=x_1^2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{-u_2+2u_1}{h^2}+\frac{u_2}{h}=x_1^2=?$ [/mm]

i=2 [mm] $-(\frac{u_3-2u_2+u_1}{h^2}+2(\frac{u_3-u_1}{2h})=x_2^2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow\frac{-u_3+2u_2-u_1}{h^2}+\frac{u_3-u_1}{h}=x_2^2=1 [/mm] ?$

i=3 [mm] $-(\frac{u_4-2u_3+u_2}{h^2})+2(\frac{u_4-u_2}{2h})=x_3^2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow\frac{-u_4+2u_3-u_2}{h^2}+\frac{u_4-u_2}{h}=x_3^2=\frac{9}{4}$? [/mm]

i=4 [mm] $-(\frac{u_5-2u_4+u_3}{h^2})+2(\frac{u_5-u_3}{2h})=x_4^2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow\frac{2u_4-u_3}{h^2}-\frac{u_3}{h}=x_4^2=?$ [/mm]

Die Aufgabe geht noch weiter aber die Gleichungen müssen ja erstmal aufgestellt werden.
Kann mir jemand dabei weiterhelfen?

        
Bezug
Finite Differenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Mo 24.03.2014
Autor: MathePower

Hallo Trolli,

> [mm]-u''(x)+2u'(x)=x^2,\ \ x\in (0,2.5)[/mm]
>  [mm]u(0)=1,\ \ u(2.5)=3[/mm]
>  
> Führen Sie eine Finite-Differenzen-Diskretisierung mit der
> Gitterweite h=1/2 durch, d.h. stellen Sie das zu lösende
> Gleichungssysten auf. Benutzen Sie dabei für die
> Approximation der ersten Ableitung den zentralen
> Differenzenquotienten
>  [mm]u'(x)\approx \frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}[/mm]
>  Hallo,
>  
> habe hier eine Übungsaufgabe (leider nur schlecht kopiert)
> und komme nicht zurecht. Das Skript kann ich mir erst
> nächste Woche besorgen und hoffe mir kann dabei jemand
> weiterhelfen.
>  
> [mm]u''(x)\approx\frac{u(x_{i+1})-2u(x_i)+u(x_{i-1})}{h^2}[/mm]
>  [mm]u''_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}[/mm]
>  [mm]u'_i(x)\approx\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}[/mm]
>  
> Auf dem Intervall [0,2.5] mit Schrittweite 0.5 gibt es 4
> innere Punkte, also müssen 4 Gleichungen aufgestellt
> werden.
>  Bei den linken Seiten der Gleichungen wird ja nur
> eingesetzt und [mm]u_0[/mm] und [mm]u_5[/mm] fallen weg. Aber wie kommen die
> rechten Seiten zustande? Leider ist bei der Kopie der Rand
> sehr verschwommen, ich konnte nur das Ergebnis von i=2 und
> i=3 erkennen.
>  
> i=1
> [mm]-(\frac{u_2-2u_1+u_0}{h^2})+2(\frac{u_2-u_0}{2h})=x_1^2[/mm]
>  [mm]\Rightarrow \frac{-u_2+2u_1}{h^2}+\frac{u_2}{h}=x_1^2=?[/mm]
>  
> i=2 [mm]-(\frac{u_3-2u_2+u_1}{h^2}+2(\frac{u_3-u_1}{2h})=x_2^2[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow\frac{-u_3+2u_2-u_1}{h^2}+\frac{u_3-u_1}{h}=x_2^2=1 ?[/mm]
>  
> i=3
> [mm]-(\frac{u_4-2u_3+u_2}{h^2})+2(\frac{u_4-u_2}{2h})=x_3^2[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow\frac{-u_4+2u_3-u_2}{h^2}+\frac{u_4-u_2}{h}=x_3^2=\frac{9}{4}[/mm]?
>  
> i=4
> [mm]-(\frac{u_5-2u_4+u_3}{h^2})+2(\frac{u_5-u_3}{2h})=x_4^2[/mm]
>  [mm]\Rightarrow\frac{2u_4-u_3}{h^2}-\frac{u_3}{h}=x_4^2=?[/mm]
>  


Es ist doch [mm]x_{i}=i*h=i*\bruch{1}{2}, \ i=1,2,3,4[/mm]


> Die Aufgabe geht noch weiter aber die Gleichungen müssen
> ja erstmal aufgestellt werden.
>  Kann mir jemand dabei weiterhelfen?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Finite Differenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Mo 24.03.2014
Autor: Trolli

Hallo,
war heute zum Glück wieder fit und konnte mir das Skript schon früher holen. Jetzt klappt auch alles ;)

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