Fixgeradenbestimmung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die affine Abbildung [mm] \alpha: \vec{x}'=A*\vec{x}. [/mm] Bestimme, um welchen abbildungstyp es sich handelt und die Fixgeraden.
a) [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 } [/mm] |
Hallo zusammen!
Habe bei dieser Aufgabe den abbildungstyp bestimmt und kriege eine Parallelstreckung mit den Eigenwerten 1 und 3.
Zum Eigenwert 1 ist der Eigenvektor [mm] k\vektor{1 \\ 0},
[/mm]
zum Eigenwert 3 ist der Eigenvektor [mm] k\vektor{1 \\ 1},
[/mm]
Nun kann ich aber die Fixgeraden nicht ausrechnen.
habe mit der Formel [mm] A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{e_{1}} [/mm] gerechnet, wobei [mm] e_{1} [/mm] der Eigenvektor ist.
ich komme im LGS an die stelle mit
[mm] 2p_{2}=t [/mm] und [mm] 2p_{2}=0t [/mm] bzw. mit dem zweiten Eigenvektor
[mm] 2p_{2}=t [/mm] und [mm] 2p_{2}=t...was [/mm] sagt mir das jetzt aus??
In der Schule meinten auch einige man müsste die formel nicht benutzen und könne es einfach ablesen von der Geradenglecihung, die man mit dem Eigenvektor und dem ursprung als stützverktor aufstellt. Demnach sei die Fixgerade y=0 in beiden fällen...wie kommen die darauf?
Und was ist der Unterschied zwischen einer Fixgeraden und einer Scherungsachse?
Bitte helft mir, ich schreib ne klausur bald und versteh es gar nicht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> habe mit der Formel [mm]A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{e_{1}}[/mm]
> gerechnet, wobei [mm]e_{1}[/mm] der Eigenvektor ist.
> ich komme im LGS an die stelle mit
> [mm]2p_{2}=t[/mm] und [mm]2p_{2}=0t[/mm] bzw. mit dem zweiten Eigenvektor
[mm] $2p_2=0*t$ $\Rightarrow$ $2p_2=0$ $\Rightarrow$ $p_2=0$.
[/mm]
[mm] $p_1$ [/mm] ist beliebig, sagen wir mal $a$, also ist [mm] $p=\pmat{a\\0}$ [/mm] und was ist das? Richtig, ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 (bzw. der Ursprung, der selber natürlich kein Eigenvektor ist. =). Der Einfachheit halber bietet sich a=0, also der Ursprung, als Aufhänger an.
> [mm]2p_{2}=t[/mm] und [mm]2p_{2}=t...was[/mm] sagt mir das jetzt aus??
t ist beliebig, also ist auch [mm] $p_2$ [/mm] beliebig und [mm] $p_1$ [/mm] sowieso, weil es nicht vorkommt.
Klarer wird es vielleicht wenn Du nicht in die Komponenten zerlegst:
Deine Gleichung ist
[mm] $Ap-p\overset{!}{=}te_3$
[/mm]
[mm] $\pmat{1&2\\ 0& 3}p [/mm] - p = [mm] \pmat{1&2\\ 0& 3}p [/mm] - [mm] \pmat{1&0\\ 0& 1}p [/mm] = [mm] \pmat{0&2\\ 0& 2}p =2\pmat{p_2\\p_2} \overset{!}{=} t\pmat{1\\1}$
[/mm]
wobei t beliebig ist. Die Gleichung ist für alle p erfüllt, denn [mm] $\pmat{p_2\\p_2}$ [/mm] ist immer ein Vielfaches von [mm] $\pmat{1\\1}$ [/mm] also ist p beliebig.
[mm] $A*(p+ke_3) [/mm] = Ap + [mm] kAe_3 [/mm] = [mm] \left(\pmat{0&2\\ 0& 2}+\pmat{1&0\\ 0& 1}\right)p +ke_3 [/mm] = [mm] p+(k+2*p_2)e_3$
[/mm]
Setz irgendwelche Werte für p und k ein, und Du wirst sehen, daß es stimmt.
> In der Schule meinten auch einige man müsste die formel
> nicht benutzen und könne es einfach ablesen von der
> Geradenglecihung, die man mit dem Eigenvektor und dem
> ursprung als stützverktor aufstellt. Demnach sei die
> Fixgerade y=0 in beiden fällen...wie kommen die darauf?
Wenn die affine Abbildung keine Verschiebung enthält, d.h. Ax+c=Ax, weil c=0, dann sind die Eigenvektoren auf jeden Fall Fixgeraden, weil [mm] $Ae_\lambda=\lambda e_\lambda$ [/mm] ja die Definition eines Eigenvektors ist. Es kann aber durchaus noch andere geben, siehe oben. Was $y=0$ "in beiden Fällen" heißen soll, weiß ich nicht. =)
ciao
Stefan
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Hey Stefan :)
Ich danke Dir erstmal sehr für deine Antwort. E ist mir vieeeeeeeel klarer geworden.
Nur eins wollte ich nochmal nachfragen: Du hast ja geschrieben, dass es durchaus andere Fixgeraden geben kann außer der mit den Eigenvektoren...
Wie bestimme ich denn die weiteren?? (du hast zwar siehe oben geschrieben, aber ich wusste jetzt nicht was du meinst...)
mit dem y=0 meinte ich, dass die aus meinem kurs meinten, dass die Fixgeraden y=0 sind für die Eigenvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ...für den Eigenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ist die fixgerade, aber dann doch nicht y=0 oder?
Gruß
Powerranger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Nur eins wollte ich nochmal nachfragen: Du hast ja
> geschrieben, dass es durchaus andere Fixgeraden geben kann
> außer der mit den Eigenvektoren...
Nö, nö, ich meinte, daß jeder Aufhänger, der Deine Gleichung erfüllt, zusammen mit dem Eigenvektor eine Fixgerade ergibt:
Sei $p+kv$ eine Fixgerade. p ist der Aufhänger, v der Richtungsvektor, k eine Zahl.
Fixgerade heißt, daß für jedes [mm] $k\in\IR$ [/mm] gilt:
$A(p+kv) + c = [mm] p+tv\,$
[/mm]
für irgendein [mm] $t\in\IR$. [/mm] D.h. jeder Punkt auf der Fixgeraden (deswegen für jedes k) wird auf irgendeinen (deswegen beliebiges t) Punkt der Fixgeraden abgebildet
Umstellen führt zu
$Ap+c-p = [mm] tv-kAv\,$
[/mm]
Die linke Seite ist konstant. A und c sind ja vorgegeben und die Fixgerade haben wir fest gewählt. Also muß auch die rechte Seite ein konstanter Vektor sein.
[mm] $tv-kAv=\text{konst}$ [/mm] (konstant heißt hier, daß wenn ich das k ändere, ich das t so ändern kann, daß wieder das gleiche wie vorher rauskommt)
D.h. Av muß ein Vielfaches von v sein (wieso?), ergo ist v ein Eigenvektor. Also ist der Richtungsvektor jeder Fixgeraden ein Eigenvektor von A.
Sei also [mm] $v=e_\lambda$, [/mm] d.h. ein Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] $\lambda$.
[/mm]
Also:
$Ap+c-p = [mm] tv-kAv=te_\lambda-kAe_\lambda=(t-k\lambda)e_\lambda$
[/mm]
weil t beliebig ist, ist auch [mm] $(t-k\lambda)$ [/mm] beliebig.
$Ap+c-p = [mm] te_\lambda$
[/mm]
Und da kommt Deine Formel her, die Dir zu einem zulässigen Richtungsvektor (d.h. dem Eigenvektor auf der rechten Seite) alle möglichen Aufhänger liefert.
> Wie bestimme ich denn die weiteren?? (du hast zwar siehe
> oben geschrieben, aber ich wusste jetzt nicht was du
> meinst...)
Es ging darum, daß falls $c=0$ ist, der Ursprung, also [mm] $p=\pmat{0\\0}$, [/mm] ein zulässiger Aufhänger für jeden Eigenvektor ist. Aber wie wir gesehen haben ist zu einem der Eigenvektoren, nämlich [mm] $\pmat{1\\1}$, [/mm] jeder Vektor zulässig, das sind viel mehr Fixgeraden als nur die zwei durch den Ursprung.
>
> mit dem y=0 meinte ich, dass die aus meinem kurs meinten,
> dass die Fixgeraden y=0 sind für die Eigenvektoren
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ...für den Eigenvektor
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ist die fixgerade, aber dann doch nicht y=0
> oder?
Definitiv nicht. Zu dem Eigenvektor gibt es unendlich viele Fixgeraden, aber y=0 ist keine. =)
ciao
Stefan
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oki doki, das wäre verstanden...Danke Dir :)
Jetzt mal aber zur Praxis, denn habe eine weitere Aufgabe zur fixgeradenbestimmung, die ich nicht verstehe...!
Die Aufgabe folgt jetzt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:25 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Powerranger |
| Aufgabe | Zeige, dass die affine Abbildung [mm] \alpha: \vec{x}'=A\vec{x} [/mm] eine Affindrehung ist. Bestimme eine Drehung [mm] \delta [/mm] mit dem drehzentrum O und eine affine Abbildung [mm] \gamma [/mm] mit mindestens einer Fixgeraden, so dass [mm] \alpha= \gamma \circ \delta.
[/mm]
Bestimme auch den Abbildungstyp von [mm] \gamma.
[/mm]
a) A= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ -5 & 5 } [/mm] |
Sooo, liebe Helfer/innen :)
Ich habe mich so weit geschlagen, dass ich alles habe, bis auf die 2. Fixgerade. Ich habe eine errechnet und zwar g: [mm] \vec{x}=t\vektor{2 \\ -5}, [/mm] während der Richtungsvektor die Abbildung der x-achse ist.
Es soll aber noch eine zweite fixgerade geben mit g: [mm] \vec{x}=t\vektor{4 \\ -3}. [/mm] Dafür habe ich versucht die Eigenvektoren von [mm] \gamma [/mm] zu ermitteln, wobei ich dann den Nullvektor als Eigenvektoren ermittelte für [mm] \lambda=\bruch{15}{\wurzel{29}} [/mm] und [mm] \lambda=\bruch{29}{\wurzel{29}}. [/mm]
Sind die Eigenvektoren von [mm] \gamma [/mm] falsch oder komme ich auf die zweite Fixgerade auf eine andere Weise?
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Kann mir denn keiner helfen???
in 3 Tagen steht die Klausur an und ich komme mit diesen Fixgeraden immer noch nicht klar:(
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Hallo Powerranger,
> Zeige, dass die affine Abbildung [mm]\alpha: \vec{x}'=A\vec{x}[/mm]
> eine Affindrehung ist. Bestimme eine Drehung [mm]\delta[/mm] mit dem
> drehzentrum O und eine affine Abbildung [mm]\gamma[/mm] mit
> mindestens einer Fixgeraden, so dass [mm]\alpha= \gamma \circ \delta.[/mm]
>
> Bestimme auch den Abbildungstyp von [mm]\gamma.[/mm]
>
> a) A= [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ -5 & 5 }[/mm]
> Sooo, liebe Helfer/innen
> :)
>
> Ich habe mich so weit geschlagen, dass ich alles habe, bis
> auf die 2. Fixgerade. Ich habe eine errechnet und zwar g:
> [mm]\vec{x}=t\vektor{2 \\ -5},[/mm] während der Richtungsvektor die
> Abbildung der x-achse ist.
> Es soll aber noch eine zweite fixgerade geben mit g:
> [mm]\vec{x}=t\vektor{4 \\ -3}.[/mm] Dafür habe ich versucht die
> Eigenvektoren von [mm]\gamma[/mm] zu ermitteln, wobei ich dann den
> Nullvektor als Eigenvektoren ermittelte für
> [mm]\lambda=\bruch{15}{\wurzel{29}}[/mm] und
> [mm]\lambda=\bruch{29}{\wurzel{29}}.[/mm]
>
> Sind die Eigenvektoren von [mm]\gamma[/mm] falsch oder komme ich auf
> die zweite Fixgerade auf eine andere Weise?
Um zu entscheiden, ob die Eigenvektoren von [mm]\gamma[/mm] falsch sind
oder nicht, benötigen wir die Abbildung [mm]\gamma[/mm] und wie Du auf
diese Abbildung gekommen bist.
Gruss
MathePower
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