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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 22.04.2010 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | L/K sei Galoiserweiterung. Dann gilt: [mm] L^{Aut_K(L)}=K.
[/mm]
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Hallo zusammen !
Den oberen Satz will ich beweisen. ( Im Folgenden: [mm] G=Aut_K(L)
[/mm]
Habe mir dazu den Beweis im Bosch Algebra-Buch angeschaut.
Mir ist klar, dass man [mm] [L^G:K]_s=1 [/mm] zeigen muss.
Aber wieso gilt das? Die Argumentation im Buch verstehe ich nicht wirklich:
Ist [mm] \overline{K} [/mm] ein algebraischer Abschluss von K, der L enthält, so setzt sich jeder K-Homom [mm] L^G\to \overline{K} [/mm] zu einem K-Homom. [mm] L\to\overline{K}
[/mm]
fort bzw aufgrund der Normalität von L/K zu einem K-Autom. von L.
So weit hab ich das verstanden... aber nun.
Alle K-Automorphismen von L sind auf [mm] L^G [/mm] trivial. Daraus folgt [mm] [L^G:K]_s=1
[/mm]
Mit dem trivial ist ja sicher gemeint, dass die K-Autom. auf [mm] L^G [/mm] eingeschränkt mit der Identität übereinstimmen, oder ? Aber wieso folgt, dann die Behauptung ?
Wäre toll, wenn ihr mir da helfen könntet und das GENAUER erklären könntet. Vielen Dank !
Lieben Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Do 22.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Mit dem trivial ist ja sicher gemeint, dass die K-Autom.
> auf [mm]L^G[/mm] eingeschränkt mit der Identität übereinstimmen,
> oder ? Aber wieso folgt, dann die Behauptung ?
Imo ein bisschen viel, dass alles komplett zu zeigen - steht ja auch im Bosch! Du musst noch die Separabilität verwenden, insbesondere die Abschätzung zwischen möglich K-Homomorphismen und dem Grad der Krörpererweiterung. Da gibt es einige Sätze und Abschnitte im Bosch zu.
Ich lasse es auf halb-offen, falls jemand einen anderen dichteren Zugang hat.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Do 22.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hi Secki,
danke für die Antwort,
hab auch gerade gesehen, dass ich "s" vergessen habe. Also es ist stets der Separabilitätsgrad gemeint.
Ist das dann vielleicht klar ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Do 22.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> hab auch gerade gesehen, dass ich "s" vergessen habe. Also
> es ist stets der Separabilitätsgrad gemeint.
> Ist das dann vielleicht klar ?
Wenn du den Abschnitt mit dem Separabilitätsgrad gut verstandne hast, dann ja.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Do 22.04.2010 | | Autor: | Fry |
Mmmm...hab ich wohl nicht (die Defi kenne ich schon...), aber vielleicht könntest du mir auf die Sprünge helfen
.
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Do 22.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> L/K sei Galoiserweiterung. Dann gilt: [mm]L^{Aut_K(L)}=K.[/mm]
>
>
> Hallo zusammen !
>
> Den oberen Satz will ich beweisen. ( Im Folgenden:
> [mm]G=Aut_K(L)[/mm]
> Habe mir dazu den Beweis im Bosch Algebra-Buch
> angeschaut.
> Mir ist klar, dass man [mm][L^G:K]_s=1[/mm] zeigen muss.
> Aber wieso gilt das? Die Argumentation im Buch verstehe
> ich nicht wirklich:
>
> Ist [mm]\overline{K}[/mm] ein algebraischer Abschluss von K, der L
> enthält, so setzt sich jeder K-Homom [mm]L^G\to \overline{K}[/mm]
> zu einem K-Homom. [mm]L\to\overline{K}[/mm]
> fort bzw aufgrund der Normalität von L/K zu einem
> K-Autom. von L.
>
> So weit hab ich das verstanden... aber nun.
Von hier aus kann man auch direkt weiterkommen:
Ist $a [mm] \in [/mm] L [mm] \setminus [/mm] K$, und $f$ das Minimalpolynom von $a$ ueber $K$, so ist [mm] $\deg [/mm] f [mm] \ge [/mm] 2$. Da $L$ normal ist, muss $f$ ueber $L$ in Linearfaktoren zerfallen, womit es ein $b [mm] \in [/mm] L$ gibt mit $f(b) = 0$, $b [mm] \neq [/mm] a$ (letzteres folgt aus der Separabilitaet). Jetzt kannst du einen $K$-Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : K(a) [mm] \to [/mm] K(b)$ finden mit [mm] $\varphi(a) [/mm] = b$ und diesen Fortsetzen zu einem $K$-Automorphismus [mm] $\hat{\varphi} [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$. Dieser haelt $a$ nicht fest, womit $a [mm] \not\in L^G$ [/mm] ist.
Aber vermutlich ist dies genau das, was mit dem "daraus folgt" gemeint ist:
> Alle K-Automorphismen von L sind auf [mm]L^G[/mm] trivial. Daraus
> folgt [mm][L^G:K]_s=1[/mm]
Weiter:
> Mit dem trivial ist ja sicher gemeint, dass die K-Autom.
> auf [mm]L^G[/mm] eingeschränkt mit der Identität übereinstimmen,
> oder ?
Genau.
> Aber wieso folgt, dann die Behauptung ?
Eine Galoiserweiterung ist separabel, womit [mm] $[L^G [/mm] : [mm] K]_s [/mm] = [mm] [L^G [/mm] : K]$ folgt. Und damit ist $K = [mm] L^G$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
vielen Dank für deine erhellende Antwort.
Der Beweis ist viel einleuchtender.
Lieben Gruß
Christian
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