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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Do 15.01.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei [mm]G \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]E \subset G \mbox{ und } f: G\to\IC [/mm]holomorph und nicht konstant. Zeigen sie dass f genau dann einen Fixpnkt auf E hat, wenn
[mm] f(\partial E) \subset E[/mm]
Dabei ist E der Einheitskreis
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Ich habe keine wirkliche Idee, mein einziger Anhaltspunkt war der Satz vom Maximumprinip der mich aber dann auch nicht wirklich weiter gebracht hat, für Banach fehlt mir ja die Kontraktion. Jemand eine Idee wie man sich der Aufgabe nähern kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Do 15.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]G \subset \IC[/mm] ein Gebiet mit [mm]E \subset G \mbox{ und } f: G\to\IC [/mm]holomorph
> und nicht konstant. Zeigen sie dass f genau dann einen
> Fixpnkt auf E hat, wenn
> [mm]f(\partial E) \subset E[/mm]
>
> Dabei ist E der Einheitskreis
>
>
> Ich habe keine wirkliche Idee, mein einziger Anhaltspunkt
> war der Satz vom Maximumprinip der mich aber dann auch
> nicht wirklich weiter gebracht hat, für Banach fehlt mir ja
> die Kontraktion. Jemand eine Idee wie man sich der Aufgabe
> nähern kann?
Aber du hast eine Kontraktion, denn
[mm] f(\partial E) \subset E \gdw |f(z)| <|z| [/mm] für alle z mit $|z| = 1$.
Das Maximumprinzip sagt was über die Werte von f auf dem Rand des Einheitskreises?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Do 15.01.2009 | | Autor: | MacMath |
Danke :) Letztendlich kam ich aber durch den Satz von Rouche dort sehr schnell hin, quasi eine Musteraufgabe zu diesem Satz
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