Fixpunkt Abbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass die Abbildung f : x [mm] \to \bruch{1}{8} x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] genau einen Fixpunkt auf dem Intervall [0; 1] besitzt und bestimme diesen bis auf einen maximalen Fehler von [mm] 10^{-5}. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich wollte gerade ein paar Aufgaben als Übung für unsere Analysis I Klausur machen und bin dabei auf die oben genannte Aufgabe gestoßen.
Entweder habe ich gerade ein extrem dickes Brett vor dem Kopf, aber ich habe keinerlei Idee, wie ich überhaupt an die Aufgabe rangehen könnte... Dabei gefällt mir die Aufgabe eigentlich gut, weil Zahlen und genaue Angaben drin vorkommen und sie damit in meinen Augen eigentlich lösbar sein sollte...
Kann mir jemand weiterhelfen? Irgendeinen Ansatz?
Grüße,
Isabelle
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> Zeige, dass die Abbildung f : x [mm]\to \bruch{1}{8} x^4[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] genau einen Fixpunkt auf dem Intervall [0; 1]
> besitzt und bestimme diesen bis auf einen maximalen Fehler
> von [mm]10^{-5}.[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich wollte gerade ein paar Aufgaben als Übung für unsere
> Analysis I Klausur machen und bin dabei auf die oben
> genannte Aufgabe gestoßen.
> Entweder habe ich gerade ein extrem dickes Brett vor dem
> Kopf, aber ich habe keinerlei Idee, wie ich überhaupt an
> die Aufgabe rangehen könnte... Dabei gefällt mir die
> Aufgabe eigentlich gut, weil Zahlen und genaue Angaben drin
> vorkommen und sie damit in meinen Augen eigentlich lösbar
> sein sollte...
> Kann mir jemand weiterhelfen? Irgendeinen Ansatz?
> Grüße,
> Isabelle
Hallo Isabelle,
die erste Frage kann man leicht mittels einer Skizze
der Graphen von $\ f$ und der identischen Funktion [mm] i:x\to{x}
[/mm]
klären. Für einen genauen Beweis benützt man z.B. die
Stetigkeit von $\ f$ und $\ i$ sowie die Monotonie von $\ i-f$ .
Für die Suche des Fixpunktes bietet sich hier natürlich
die Fixpunktiteration an, z.B. mit dem Startwert [mm] x_0=0 [/mm] .
Die rekursiv definierte Folge [mm] [/mm] mit [mm] x_{n+1}=f(x_n)
[/mm]
konvergiert gegen den Fixpunkt. Praktisch werden nur ganz
wenige Schritte erforderlich sein, um die gewünschte
Genauigkeit zu erzielen.
LG Al-Chw.
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Danke erstmal für die schnelle Antwort und sorry, dass ich erst jetzt drauf reagiere (war leider krank...).
Fixpunktiteration habe ich schonmal gehört.
Zum ersten Teil habe ich mir überlegt, dass mir dabei der Banach'sche Fixpunktsatz helfen kann:
(E,d) vollst. metr. Raum, f:E [mm] \to [/mm] E Abb., die kontrahierend ist, d.h. [mm] \exists [/mm] q [mm] \in [/mm] ]0,1[, so dass d(f(x), f(x) [mm] \le [/mm] q d(x,y) [mm] \forall [/mm] x,y, [mm] \in [/mm] E (q-Kontraktion). Dann hat f genau einen Fixpunkt ...
Das würde ja bedeuten, dass ich zeigen muss
1. (E,d) vollst.
2. f(E) [mm] \subset [/mm] E
und 3. Kontraktion
Sind meine Überlegungen bis dahin richtig? Danach könnte ich dann weiter mit der Fixunktiteration vorgehen...
Nun mein Anfangsversuch (vielleicht könnte jemand gucken, ob der so bisher stimmt?):
f(x) = [mm] \bruch{1}{8} x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] , x [mm] \in [/mm] [0,1]
d.h. E=[0,1] mit euklid. Metrik d ist hier der metr. Raum
Stimmt die Vorüberlegung so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 09.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Isabelle!
> Danke erstmal für die schnelle Antwort und sorry, dass ich
> erst jetzt drauf reagiere (war leider krank...).
>
> Fixpunktiteration habe ich schonmal gehört.
> Zum ersten Teil habe ich mir überlegt, dass mir dabei der
> Banach'sche Fixpunktsatz helfen kann:
> (E,d) vollst. metr. Raum, f:E [mm]\to[/mm] E Abb., die
> kontrahierend ist, d.h. [mm]\exists[/mm] q [mm]\in[/mm] ]0,1[, so dass
> d(f(x), f(x) [mm]\le[/mm] q d(x,y) [mm]\forall[/mm] x,y, [mm]\in[/mm] E
> (q-Kontraktion). Dann hat f genau einen Fixpunkt ...
> Das würde ja bedeuten, dass ich zeigen muss
> 1. (E,d) vollst.
> 2. f(E) [mm]\subset[/mm] E
> und 3. Kontraktion
>
> Sind meine Überlegungen bis dahin richtig? Danach könnte
> ich dann weiter mit der Fixunktiteration vorgehen...
>
> Nun mein Anfangsversuch (vielleicht könnte jemand gucken,
> ob der so bisher stimmt?):
> f(x) = [mm]\bruch{1}{8} x^4[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , x [mm]\in[/mm] [0,1]
> d.h. E=[0,1] mit euklid. Metrik d ist hier der metr. Raum
> Stimmt die Vorüberlegung so?
Ja, das ist richtig. E ist ein vollständiger metrischer Raum, weil es sich um ein abgeschlossenes Intervall handelt.
Noch ein Tipp: [mm] $x^4-y^4 [/mm] = [mm] (x-y)*(x^3+x^2y+xy^2+y^3)$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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Also ich hab 1 und 2 jetzt wie folgt gezeigt
1) (E,d) vollst.: Wir wissen: [mm] (\IR, [/mm] d) vollst. , [0,1] abgeschlossen
Daraus folgt ([0,1],d) vollständig.
2) f(E) [mm] \subset [/mm] E, d.h. z.z. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]: f(x) [mm] \in [/mm] [0,1].
Sei x [mm] \in [/mm] [0,1]
Daraus folgt f(x) = [mm] \bruch{1}{8} x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \begin{cases} \le \bruch{1}{8} * 1^4 + \bruch{1}{2} = \bruch{5}{8} \\ \ge \bruch{1}{8}* 0^4 + \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2} \end{cases}
[/mm]
Und für die Kontraktion werd ich es mal mit dem Tipp versuchen...
Ist das denn so bis jetzt richtig?
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Huhu,
bis jetzt siehts gut aus 
Für die Kontraktion hat dir Rainer schon einen entscheidenden Tip gegeben
MFG,
Gono.
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Bei der Kontraktion komm ich trotz Tipp noch nicht so ganz zurecht bzw. weiter...
Also ich hab bis jetzt
3) Kontraktion: Seien x,y [mm] \in [/mm] [0,1] beliebig. Dann gilt
d(f(x), f(y)) = | f(x) - f(y) | = [mm] |\bruch{1}{8} x^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} y^4 [/mm] | = [mm] \bruch{1}{8} |x^4-y^4| [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} |(x-y)*(x^3+x^2+y+xy^2+y3)| [/mm]
Nur wie kann cih weiter "abschätzen" (nennt man das auch abschätzen?!)? Ich steh grad ein wenig auf dem Schlauch...
Ich würde dann ja (wenns klappt) auf ein q<1 kommen
Darauf würde dann folgen, dass genau ein Fixpunkt x Dach (ich weiß leider nicht, wie ich das hier schreiben kann...) [mm] \in [/mm] [0,1].
(ich nehme jetzt mal x anstelle von x Dach, weil cih nicht weiß wie mans schreibt...)
f(x) = x [mm] \gdw \bruch{1}{8} x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = x [mm] \gdw x^4 [/mm] - 8x = -4 ... aber hier habe ich nun auch Probleme weiterzukommen...
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Huhu,
> Also ich hab bis jetzt
> 3) Kontraktion: Seien x,y [mm]\in[/mm] [0,1] beliebig. Dann gilt
> d(f(x), f(y)) = | f(x) - f(y) | = [mm]|\bruch{1}{8} x^4[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{8} y^4[/mm] | = [mm]\bruch{1}{8} |x^4-y^4|[/mm] = [mm]\bruch{1}{8} |(x-y)*(x^3+x^2+y+xy^2+y3)|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Überlege mal, wie du [mm] $(x^3+x^2+y+xy^2+y^3)$ [/mm] nach oben abschätzen kannst.
Denk mal nach, aus welchem Intervall x und y kommen 
> Ich würde dann ja (wenns klappt) auf ein q<1 kommen
> Darauf würde dann folgen, dass genau ein Fixpunkt x Dach
> (ich weiß leider nicht, wie ich das hier schreiben
> kann...) [mm]\in[/mm] [0,1].
> (ich nehme jetzt mal x anstelle von x Dach, weil cih nicht
> weiß wie mans schreibt...)
[mm] \hat{x} [/mm] schreibt man mit \hat{x}
> f(x) = x [mm]\gdw \bruch{1}{8} x^4[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = x [mm]\gdw x^4[/mm]
> - 8x = -4 ... aber hier habe ich nun auch Probleme
> weiterzukommen...
Du wirst das [mm] \hat{x} [/mm] auch nicht explizit angeben können.
Aber ihr hattet bestimmt auch schon, wie du dir aus der Fixpunkt-Formel eine Fixpunkt-Folge mit beliebigem Startwert basteln kannst!
Und dafür gibt es eine Fehlerabschätzungsformel, die hattet ihr bestimmt auch
MFG,
Gono.
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> Überlege mal, wie du [mm](x^3+x^2+y+xy^2+y^3)[/mm] nach oben
> abschätzen kannst.
> Denk mal nach, aus welchem Intervall x und y kommen
OK, ich würd sagen man kann [mm] (x^3+x^2+y+xy^2+y^3) [/mm] mit < 5 abschätzen... damit hätte man dann ja [mm] \le \bruch{5}{8} [/mm] |x-y| und somit [mm] q=\bruch{5}{8} [/mm] < 1
> > Ich würde dann ja (wenns klappt) auf ein q<1 kommen
> > Darauf würde dann folgen, dass genau ein Fixpunkt [mm] \hat{x} [/mm] existiert
Das das wäre also (wenns so stimmt) gegeben
> [mm]\hat{x}[/mm] schreibt man mit [mm][code]\hat{x}[/code][/mm]
Danke :)
>
> Du wirst das [mm]\hat{x}[/mm] auch nicht explizit angeben können.
> Aber ihr hattet bestimmt auch schon, wie du dir aus der
> Fixpunkt-Formel eine Fixpunkt-Folge mit beliebigem
> Startwert basteln kannst!
>
> Und dafür gibt es eine Fehlerabschätzungsformel, die
> hattet ihr bestimmt auch
Aaaah, geht das dann vielleicht mit der A priori Fehlerabschätzung
[mm] d(x_n, \hat{x}) \le \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0) [/mm] ???
Und für die Aufgabe wär dann gegeben, dass [mm] d(x_n, \hat{x}) [/mm] < [mm] 10^{-5} [/mm] ist ? Und dann lässt sich vermutlich irgendwie das n bestimmen (wenn ich auch gerade noch nicht weiß wie genau ich vorgehen soll..) ?
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Huhu,
> OK, ich würd sagen man kann [mm](x^3+x^2+y+xy^2+y^3)[/mm] mit < 5
> abschätzen... damit hätte man dann ja [mm]\le \bruch{5}{8}[/mm]
> |x-y| und somit [mm]q=\bruch{5}{8}[/mm] < 1
genau
> Aaaah, geht das dann vielleicht mit der A priori
> Fehlerabschätzung
> [mm]d(x_n, \hat{x}) \le \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm] ???
Korrekt. Na siehst du, alles da
> Und für die Aufgabe wär dann gegeben, dass [mm]d(x_n, \hat{x})[/mm]
> < [mm]10^{-5}[/mm] ist ?
Genau.
> Und dann lässt sich vermutlich irgendwie
> das n bestimmen (wenn ich auch gerade noch nicht weiß wie
> genau ich vorgehen soll..) ?
Nunja, du weißt:
[mm]d(x_n, \hat{x}) \le \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm]
Insbesondere gilt also:
[mm] $d(x_n, \hat{x}) \le 10^{-5}$ [/mm] wenn [mm] $\bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0) [/mm] < [mm] 10^{-5}$
[/mm]
Wähle dir nun also einen beliebigen Startwert [mm] x_0 [/mm] aus deinem Intervall und berechne dann das n aus obiger Ungleichung.
Du brauchst dafür also [mm] x_1, [/mm] dein q und ein bisschen Rumgerechne.
MFG,
Gono.
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> > Aaaah, geht das dann vielleicht mit der A priori
> > Fehlerabschätzung
> > [mm]d(x_n, \hat{x}) \le \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm] ???
>
> Korrekt. Na siehst du, alles da
>
> > Und für die Aufgabe wär dann gegeben, dass [mm]d(x_n, \hat{x})[/mm]
> > < [mm]10^{-5}[/mm] ist ?
>
> Genau.
>
> > Und dann lässt sich vermutlich irgendwie
> > das n bestimmen (wenn ich auch gerade noch nicht weiß wie
> > genau ich vorgehen soll..) ?
>
> Nunja, du weißt:
>
> [mm]d(x_n, \hat{x}) \le \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm]
>
> Insbesondere gilt also:
>
> [mm]d(x_n, \hat{x}) \le 10^{-5}[/mm] wenn [mm]\bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0) < 10^{-5}[/mm]
>
> Wähle dir nun also einen beliebigen Startwert [mm]x_0[/mm] aus
> deinem Intervall und berechne dann das n aus obiger
> Ungleichung.
> Du brauchst dafür also [mm]x_1,[/mm] dein q und ein bisschen
> Rumgerechne.
>
Ich muss zugeben, dass mir dieser Teil arge Probleme bereitet... Zwar habe ich die Fehlerabschätzung in meinem Skript gefunden, allerdings hat das für mich nicht wirklich Hand und Fuß... und leider findet sich auch nirgends ein Beispiel...
also [mm] \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0) [/mm] < [mm] 10^{-5} [/mm] hab ich nun ja, oder?
Mein q ist [mm] \bruch{1}{2}... [/mm] Das könnte man ja auf jedenfall schonmal einsetzen...
Kann ich als [mm] x_0 [/mm] jetzt einfach 0 wählen?
Kann mir vielleicht jemand mal zeigen, wie so eine Fehlerabschätzung aussehen sollte? Gerne auch ein anderes Beispiel... nur damit ich so eine Art Leitfaden habe?
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Huhu,
> Ich muss zugeben, dass mir dieser Teil arge Probleme bereitet...
Dann wollen wir die mal lösen.
> also [mm]\bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm] < [mm]10^{-5}[/mm] hab ich nun ja, oder?
Korrekt.
> Mein q ist [mm]\bruch{1}{2}...[/mm] Das könnte man ja auf
> jedenfall schonmal einsetzen...
Genau.
> Kann ich als [mm]x_0[/mm] jetzt einfach 0 wählen?
Ja, genausogut wie jedes andere Element deines Intervalls!
> Kann mir vielleicht jemand mal zeigen, wie so eine
> Fehlerabschätzung aussehen sollte? Gerne auch ein anderes
> Beispiel... nur damit ich so eine Art Leitfaden habe?
Nunja, was brauchst du um n zu berechnen?
[mm] q,x_0 [/mm] und [mm] x_1
[/mm]
Du kennst q, du kennst [mm] x_0 [/mm] (hast du dir ja eben gewählt) und du kannst [mm] x_1 [/mm] berechnen.
Dazu brauchst du die Vorschrift, wie du [mm] $x_{n+1}$ [/mm] berechnest!
Wie bekommst du denn deine rekursive Bildungsvorschrift aus der Fixpunktgleichung?
Daraus berechnest du [mm] x_1 [/mm] und hast alles, was du benötigst um n zu berechnen.
Nun mal los, du schaffst das schon
MFG,
Gono.
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> Huhu,
>
> > Ich muss zugeben, dass mir dieser Teil arge Probleme
> bereitet...
>
> Dann wollen wir die mal lösen.
>
> > also [mm]\bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm] < [mm]10^{-5}[/mm] hab ich nun ja,
> oder?
>
> Korrekt.
>
> > Mein q ist [mm]\bruch{1}{2}...[/mm] Das könnte man ja auf
> > jedenfall schonmal einsetzen...
>
> Genau.
>
> > Kann ich als [mm]x_0[/mm] jetzt einfach 0 wählen?
>
> Ja, genausogut wie jedes andere Element deines Intervalls!
>
> > Kann mir vielleicht jemand mal zeigen, wie so eine
> > Fehlerabschätzung aussehen sollte? Gerne auch ein anderes
> > Beispiel... nur damit ich so eine Art Leitfaden habe?
>
> Nunja, was brauchst du um n zu berechnen?
> [mm]q,x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm]
>
> Du kennst q, du kennst [mm]x_0[/mm] (hast du dir ja eben gewählt)
> und du kannst [mm]x_1[/mm] berechnen.
Ok, bis dahin scheine ich ja schonmal auf dem richtigen Weg zu sein :)
> Dazu brauchst du die Vorschrift, wie du [mm]x_{n+1}[/mm]
> berechnest!
> Wie bekommst du denn deine rekursive Bildungsvorschrift
> aus der Fixpunktgleichung?
Das ist eine gute Frage und ich muss zugeben, ich bin völlig ahnungslos... vermutlich liegt an dieser Stelle mein (Haupt)problem...
Ich bräuchte theoretisch eine Folge, die gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert, oder? Aber das hätte ja nur indirekt mit der Fixpunktgleichung zu tun...
>
> Daraus berechnest du [mm]x_1[/mm] und hast alles, was du benötigst
> um n zu berechnen.
>
> Nun mal los, du schaffst das schon
>
Danke, aber ich merke schon ich bin ein sehr schwieriger Fall (eigentlich wollte ich schreiben hoffnungslos, aber wir wollen die Hoffnung ja nicht aufgeben ;) )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mi 12.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Isabelle!
> > Huhu,
> >
> > > Ich muss zugeben, dass mir dieser Teil arge Probleme
> > bereitet...
> >
> > Dann wollen wir die mal lösen.
> >
> > > also [mm]\bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0)[/mm] < [mm]10^{-5}[/mm] hab ich nun ja,
> > oder?
> >
> > Korrekt.
> >
> > > Mein q ist [mm]\bruch{1}{2}...[/mm] Das könnte man ja auf
> > > jedenfall schonmal einsetzen...
> >
> > Genau.
> >
> > > Kann ich als [mm]x_0[/mm] jetzt einfach 0 wählen?
> >
> > Ja, genausogut wie jedes andere Element deines Intervalls!
> >
> > > Kann mir vielleicht jemand mal zeigen, wie so eine
> > > Fehlerabschätzung aussehen sollte? Gerne auch ein anderes
> > > Beispiel... nur damit ich so eine Art Leitfaden habe?
> >
> > Nunja, was brauchst du um n zu berechnen?
> > [mm]q,x_0[/mm] und [mm]x_1[/mm]
> >
> > Du kennst q, du kennst [mm]x_0[/mm] (hast du dir ja eben gewählt)
> > und du kannst [mm]x_1[/mm] berechnen.
>
> Ok, bis dahin scheine ich ja schonmal auf dem richtigen Weg
> zu sein :)
>
> > Dazu brauchst du die Vorschrift, wie du [mm]x_{n+1}[/mm]
> > berechnest!
> > Wie bekommst du denn deine rekursive Bildungsvorschrift
> > aus der Fixpunktgleichung?
>
> Das ist eine gute Frage und ich muss zugeben, ich bin
> völlig ahnungslos... vermutlich liegt an dieser Stelle
> mein (Haupt)problem...
> Ich bräuchte theoretisch eine Folge, die gegen
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] konvergiert, oder? Aber das hätte ja nur
> indirekt mit der Fixpunktgleichung zu tun...
Nein, du suchst doch eine Folge, die gegen den Fixpunkt [mm] $\hat{x}$ [/mm] konvergiert. Was hat denn diese Folge mit der Funktion $f$ zu tun, mit der die Aufgabe losgeht?
Dazu ein Tipp: du hast doch die Voraussetzung gezeigt, dass f eine kontrahierende Abbildung ist. Du konntest sogar den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ausrechnen. Nehmen wir nun mal an, wir hätten bereits die ersten zwei Punkte [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] der Folge. Dann weisst du doch, dass
[mm] |f(x_1)-f(x_0)| \le \bruch{1}{2} |x_1-x_0| [/mm] .
Das heisst also, dass die beiden Punkte [mm] $f(x_1)$ [/mm] und [mm] $f(x_0)$ [/mm] höchstens halb so weit voneinander entfernt sind wie die beiden Punkte [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_0$. [/mm] Welche Vorschrift zur Berechnung der nächsten Punkte liegt also nahe?
(Du könntest dir auch den Beweis des Fixpunktsatzes anschauen, da wird so eine Folge konstruiert.)
> Danke, aber ich merke schon ich bin ein sehr schwieriger
> Fall (eigentlich wollte ich schreiben hoffnungslos, aber
> wir wollen die Hoffnung ja nicht aufgeben ;) )
Eben
Viele Grüße
Rainer
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>
> Nein, du suchst doch eine Folge, die gegen den Fixpunkt
> [mm]\hat{x}[/mm] konvergiert.
Oh sorry, ich hab das q mit dem Fixpunkt durcheinandergeschmissen... Natürlich muss die Folge gegen den Fixpunkt konvergieren, den ich ja allerdings noch suche...
>Was hat denn diese Folge mit der
> Funktion [mm]f[/mm] zu tun, mit der die Aufgabe losgeht?
Ahh, ist [mm] x_{n+1} [/mm] dann nicht im Grunde gleich [mm] f(x_n), [/mm] also [mm] \bruch{1}{8} x_n [/mm] ^4 + [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
Und wenn ich [mm] x_0 [/mm] dann gleich 0 wähle, dann ist [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}?
[/mm]
Vorausgesetzt meine Ideen bis hierhin sind richtig, dann hätte ich
[mm] \bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0) [/mm] < [mm] 10^{-5}
[/mm]
Mit [mm] q=\bruch{1}{2}, x_0 [/mm] = 0, [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ergäbe sich dann
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}^n}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < [mm] 10^{-5}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1^n}{2^n} [/mm] < [mm] 10^{-5}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n < [mm] log_{\bruch{1}{2}} 10^{-5}
[/mm]
und jetzt bräuchte man vermutlich einen Taschenrechner, aber ich befürchte orgendwo ist noch ein Fehler...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mi 12.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Isabelle!
> >
> > Nein, du suchst doch eine Folge, die gegen den Fixpunkt
> > [mm]\hat{x}[/mm] konvergiert.
>
> Oh sorry, ich hab das q mit dem Fixpunkt
> durcheinandergeschmissen... Natürlich muss die Folge gegen
> den Fixpunkt konvergieren, den ich ja allerdings noch
> suche...
>
> >Was hat denn diese Folge mit der
> > Funktion [mm]f[/mm] zu tun, mit der die Aufgabe losgeht?
>
> Ahh, ist [mm]x_{n+1}[/mm] dann nicht im Grunde gleich [mm]f(x_n),[/mm] also
> [mm]\bruch{1}{8} x_n[/mm] ^4 + [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
>
> Und wenn ich [mm]x_0[/mm] dann gleich 0 wähle, dann ist [mm]x_1[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}?[/mm]
> Vorausgesetzt meine Ideen bis hierhin sind richtig, dann
> hätte ich
>
> [mm]\bruch{q^n}{1-q} d(x_1, x_0) < 10^{-5}[/mm]
> Mit [mm]q=\bruch{1}{2}[/mm], [mm]x_0 = 0[/mm], [mm]x_1 = \bruch{1}{2}[/mm] ergäbe
> sich dann
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}^n}{1-\bruch{1}{2}} * \bruch{1}{2} < 10^{-5}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{1^n}{2^n} < 10^{-5}[/mm]
> [mm]\gdw n < \log_{\bruch{1}{2}} 10^{-5}[/mm]
Halt, das muss $n> ...$ heißen, denn n ist durch die Bedingung nach unten beschränkt.
Wenn du auf beide Seiten von [mm]\bruch{1^n}{2^n} < 10^{-5}[/mm] den Logarithmus anwendest, hast du:
[mm] \log \bruch{1^n}{2^n} < \log 10^{-5}[/mm]
und mit den Logarithmusgesetzen ist das
[mm] n*\log 1 - n*\log 2 < - 5 *\log 10 [/mm]
oder
[mm] n > 5 * \bruch{\log 10}{\log 2} \approx 16,6 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
> und jetzt bräuchte
> man vermutlich einen Taschenrechner, aber ich befürchte
> orgendwo ist noch ein Fehler...
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Do 13.01.2011 | | Autor: | Isabelle90 |
Vielen, vielen Dank für die ganzen Hilfen! Ich glaube das ganze ist jetzt endlich ein wenig klarer bei mir :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mo 10.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Eine kleine Korrektur, denn da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen und durchgeschleift: es muss
[mm] x^3+x^2\red{*}y+xy^2+y^3 [/mm]
heißen, und das schätzt du durch [mm] $\bruch{4}{8}=\bruch{1}{2}$ [/mm] nach oben ab.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 01:29 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
die Abschätzung nach oben war doch dann völlig korrekt
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Wegen [mm] $|f'(x)|=f'(x)=\bruch{1}{2}x^3 \le \bruch{1}{2}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1] und dem Mittelwertsatz, sieht man, dass man q=1/2 wählen kann.
FRED
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