Fixpunkt bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Sa 17.11.2012 | | Autor: | kaspanda |
| Aufgabe | Sei T:C[0,1] [mm] \to [/mm] C[0,1] durch [mm] (Tf)(x)=x+\bruch{1}{2}*f(\wurzel{x}) [/mm] gegeben.
a) Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt [mm] \overline{f} [/mm] hat.
b) Zeigen Sie, dass [mm] \overline{f} [/mm] monoton wachsend ist.
c) Berechnen Sie [mm] \overline{f}(1) [/mm] |
Es hapert schon bei a).
Ich habe an den Banachschen Fixpunktsatz gedacht.
Selbstabbildung ist klar, jedoch komme ich bei der Kontraktionseigenschaft nicht so recht weiter:
[mm] \parallel f_{1}(x) [/mm] - [mm] f_{2}(x) \parallel [/mm] = [mm] \parallel x+\bruch{1}{2}f_{1}(\wurzel(x))-x-\bruch{1}{2}f_{2}(\wurzel(x)) \parallel [/mm] = [mm] \parallel \bruch{1}{2}f_{1}(\wurzel(x))-\bruch{1}{2}f_{2}(\wurzel(x)) \parallel
[/mm]
Hier komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
Lieben Dank und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 17.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei T:C[0,1] [mm]\to[/mm] C[0,1] durch
> [mm](Tf)(x)=x+\bruch{1}{2}*f(\wurzel{x})[/mm] gegeben.
>
> a) Zeigen Sie, dass T genau einen Fixpunkt [mm]\overline{f}[/mm]
> hat.
> b) Zeigen Sie, dass [mm]\overline{f}[/mm] monoton wachsend ist.
> c) Berechnen Sie [mm]\overline{f}(1)[/mm]
> Es hapert schon bei a).
> Ich habe an den Banachschen Fixpunktsatz gedacht.
> Selbstabbildung ist klar, jedoch komme ich bei der
> Kontraktionseigenschaft nicht so recht weiter:
>
> [mm]\parallel f_{1}(x)[/mm] - [mm]f_{2}(x) \parallel[/mm] = [mm]\parallel x+\bruch{1}{2}f_{1}(\wurzel(x))-x-\bruch{1}{2}f_{2}(\wurzel(x)) \parallel[/mm]
> = [mm]\parallel \bruch{1}{2}f_{1}(\wurzel(x))-\bruch{1}{2}f_{2}(\wurzel(x)) \parallel[/mm]
Du mußt doch zeigen, dass T eine Kontraktion ist . Ich gehe davon aus , dass C[0,1] mit der Norm [mm] ||*||_{\infty} [/mm] ausgestattet ist.
Für x zwischen 0 und 1:
[mm] |(Tf_1)(x)-(Tf_2)(x)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}|f_{1}(\wurzel{x})-f_{2}(\wurzel{x})| \le 1/2||f_1-f_2||_{\infty}
[/mm]
Was folgt für [mm] ||Tf_1-Tf_2||_{\infty} [/mm] ?
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> Hier komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand
> helfen?
>
> Lieben Dank und viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 17.11.2012 | | Autor: | kaspanda |
Hallo Fred,
danke für die Antwort. Leider steht keine Norm bei der Aufgabe, aber ich denke auch, dass die [mm] ||\cdot{}||_{\infty} [/mm] Norm gemeint ist.
Ich komme mit deinem Hinweis nicht so recht weiter. Die einzige (offensichtliche) Folgerung für mich:
[mm] ||Tf_1-Tf_2||_{\infty} \le ||f_1-f_2||_{\infty}
[/mm]
Aber für Kontraktion brauche ich doch echt kleiner und zudem kann man die Kontraktionskonstante L doch auch angeben, oder? Ich sehe einfach nicht, wie das hier funktionieren soll.
Danke für die Geduld 
kaspanda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 17.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich hatte mich verschrieben !
Korrekt:
$ [mm] ||Tf_1-Tf_2||_{\infty} \le 1/2||f_1-f_2||_{\infty} [/mm] $
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