Fixpunkt kontrahierender Abbildungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
und mal wieder komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter:
Es sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Es existiere ein [mm]0 \le \alpha < 1[/mm] mit
[mm]|x_{n+1} - x_n| \le \alpha * |x_n - x_{n-1}|[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm].
Es sei [mm]A := |x_1 - x_0|[/mm]. Zeige, dass [mm]|x_{n+1} - x_n| \le \alpha^n * A[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm]. Welche Abschätzung gilt für [mm]|x_{n+m} - x_n|,\ n,m \in \IN[/mm]? Folgere, dass die Folge [mm](x_n)[/mm] konvergiert, und gib eine Abschätung für den Approximationsfehler [mm]|x_n - \limes_{m\rightarrow\infty} x_m|[/mm].
[mm]|x_{n+1} - x_n| \le \alpha^n * A[/mm] das habe ich schon per Induktion gezeigt.
Für die Abschätzung von [mm]|x_{n+m} - x_n|[/mm] habe ich zwei Vermutungen, bei denen ich es aber leider nicht schaffe sie zu verifizieren (und ich bin mir nicht sicher ob sie gelten, weil ich es nur für ein paar Beispiele ausprobiert habe):
[mm]_{1)} |x_{n+m} - x_n| \le (\summe_{k=1}^{m} (\alpha^m)) * |x_n - x_{n-1}|[/mm]
und
[mm]_{2)} |x_{n+m} - x_n| \le \alpha^n * |x_m - x_0|[/mm]
Hier bräuchte ich vielleicht einen kleinen Tip...
Konvergenz kann man aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha^n * A = 0[/mm] folgern, weil dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |x_{n+1} - x_n| = 0[/mm] gelten muss.
Für den Approximationsfehler braucht man das Ergebnis von der Abschätzung von [mm]|x_{n+m} - x_n|[/mm]. Wenn ich [mm]_{2)}[/mm] annehme könnte ich folgern, dass
[mm]|x_n - \limes_{m\rightarrow\infty} x_m| = |\limes_{m\rightarrow\infty} x_m - x_n|[/mm] und dann ergibt sich ([mm]\limes_{m\rightarrow\infty} x_m = x[/mm]):
[mm]|x_n - \limes_{m\rightarrow\infty} x_m| \le \alpha^n * |x - x_0|[/mm] = Approximationsfehler
Auch hier bräuchte ich Hilfe, wenn [mm]_{2)}[/mm] nicht gilt oder meine Argumentation falsch ist.
Vielen Dank
Bernhard
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bernhard,
erst einmal eine kleine Anregung, ich denke/hoffe, sie bringt dich weiter:
> Für die Abschätzung von [mm]|x_{n+m} - x_n|[/mm] habe ich zwei
> Vermutungen, bei denen ich es aber leider nicht schaffe sie
> zu verifizieren...
Es gilt doch:
[mm]|x_{n+m} - x_n|=|x_{n+m} - x_{n+m-1}+x_{n+m-1} - x_{n+m-2}+x_{n+m-2}- ... - x_{n+1} + x_{n+1} - x_n|[/mm]
Die nächste Idee wäre dann, jetzt die (allgemeine) Dreiecksungleichung (ich hoffe, der Ausdruck stimmt; auf jeden Fall heißt es Dreiecksungleichung  ) auf diesen Ausdruck anzuwenden und daraufhin das bereits bewiesene [m]|x_{n+1} - x_n |\le \alpha^n *A[/m] auszunutzen.
Leider muss ich jetzt dringend weg, hoffentlich habe ich in der Eile keinen Fehler gemacht. Entschuldige, dass ich nichts kontrolliert habe, beim schnellen Lesen sah es aber gut aus 
Ich hoffe, ich finde nachher noch einmal die Zeit, deine Überlegungen/Rechnungen zu kontrollieren...
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bernhard,
da bin ich wieder .
> Hallo,
> und mal wieder komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter:
>
> Es sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Es existiere ein [mm]0 \le \alpha < 1[/mm]
> mit
>
> [mm]|x_{n+1} - x_n| \le \alpha * |x_n - x_{n-1}|[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm].
>
>
> Es sei [mm]A := |x_1 - x_0|[/mm]. Zeige, dass [mm]|x_{n+1} - x_n| \le \alpha^n * A[/mm]
> für alle [mm]n \in \IN[/mm]. Welche Abschätzung gilt für [mm]|x_{n+m} - x_n|,\ n,m \in \IN[/mm]?
> Folgere, dass die Folge [mm](x_n)[/mm] konvergiert, und gib eine
> Abschätung für den Approximationsfehler [mm]|x_n - \limes_{m\rightarrow\infty} x_m|[/mm].
>
>
>
> [mm]|x_{n+1} - x_n| \le \alpha^n * A[/mm] das habe ich schon per
> Induktion gezeigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
> Für die Abschätzung von [mm]|x_{n+m} - x_n|[/mm] habe ich zwei
> Vermutungen, bei denen ich es aber leider nicht schaffe sie
> zu verifizieren (und ich bin mir nicht sicher ob sie
> gelten, weil ich es nur für ein paar Beispiele ausprobiert
> habe):
> [mm]_{1)} |x_{n+m} - x_n| \le (\summe_{k=1}^{m} (\alpha^m)) * |x_n - x_{n-1}|[/mm]
>
> und
> [mm]_{2)} |x_{n+m} - x_n| \le \alpha^n * |x_m - x_0|[/mm]
> Hier
> bräuchte ich vielleicht einen kleinen Tip...
Dann schau dir jetzt mal mein letztes Posting an, man muss zwar noch etwas weiterdenken, aber das ist eine kleine Überlegung. Ich hoffe, du kommst alleine drauf. Falls nicht, dann frage weiter nach!
> Konvergenz kann man aus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha^n * A = 0[/mm]
> folgern, weil dann auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |x_{n+1} - x_n| = 0[/mm]
> gelten muss.
Wirklich? Das sehe ich jetzt gerade nicht.
(Ich meine, ich sehe nicht, warum man deshalb die Konvergenz folgern kann. Die Folgerung
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha^n * A = 0[/mm] (das gilt ja wegen $0 [mm] \le \alpha [/mm] < 1$ und weil $A$ 'fest' ist)
[mm]\Rightarrow
\limes_{n\rightarrow\infty} |x_{n+1} - x_n| = 0[/mm]
ist mir schon klar (Einschließkriterium mit obiger Abschätzung) ).
Ich weiß zwar, dass [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist und daher jede Cauchyfolge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, aber warum sollte das eine Cauchyfolge sein, wenn "nur" gilt:
[mm] $|x_{n+1}-x_n| \rightarrow [/mm] 0$ $(n [mm] \rightarrow \infty)$? [/mm] Die Definition einer Cauchyfolge verlangt jedenfalls eine schärfere Aussage (du kennst sie, nehme ich an, deshalb schreibe ich nur das, was ich meine, nochmal hin:)
Cauchyfolge: ... es existiert [mm] $N_{\varepsilon}$, [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge N_{\varepsilon}$...
[/mm]
Aber:
Wenn du die Abschätzung für [mm] $|x_{n+m}-x_n|$ [/mm] einmal herausbekommen hast, dann kannst du (denke ich jedenfalls) über Cauchyfolge argumentieren, weil ja bekanntlich [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist (oh Wunder )!
> Für den Approximationsfehler braucht man das Ergebnis von
> der Abschätzung von [mm]|x_{n+m} - x_n|[/mm]. Wenn ich [mm]_{2)}[/mm] annehme
> könnte ich folgern, dass
> [mm]|x_n - \limes_{m\rightarrow\infty} x_m| = |\limes_{m\rightarrow\infty} x_m - x_n|[/mm]
> und dann ergibt sich ([mm]\limes_{m\rightarrow\infty} x_m = x[/mm]):
>
> [mm]|x_n - \limes_{m\rightarrow\infty} x_m| \le \alpha^n * |x - x_0|[/mm]
> = Approximationsfehler
> Auch hier bräuchte ich Hilfe, wenn [mm]_{2)}[/mm] nicht gilt oder
> meine Argumentation falsch ist.
Das schauen wir uns gemeinsam an, wenn du eine Abschätzung für [m]|x_{n+m}-x_n|[/m] hergeleitet hast... ... und keine Vermutungen mehr anstellen must
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Do 10.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo Marcel,
Du hast in deinem ersten Beitrag geschrieben, dass
[mm] |x_{n+m} - x_n|=|x_{n+m} - x_{n+m-1}+x_{n+m-1} - x_{n+m-2}+x_{n+m-2}- ... - x_{n+1} + x_{n+1} - x_n| [/mm]
gilt.
Genau so bin ich auch auf mein (den Schritt mit der Dreiecksungleichung hatte ich auch)
[mm]_{1)} |x_{n+m} - x_n| \le (\summe_{k=1}^{m} (\alpha^m)) * |x_n - x_{n-1}|[/mm]
gekommen, weil sich
[mm]|x_{n+m} - x_{n+m-1}|[/mm]
immer nach Voraussetzung nach oben mit
[mm]\alpha * |x_{n+m-1} - x_{n+m-2}|[/mm]
abschätzen lässt. Und wenn man jetzt dieses
[mm]|x_{n+m-1} - x_{n+m-2}|[/mm]
weiter abschätzt kommt irgendwann (wenn man es für alle Summanden macht)
[mm]_{1)} |x_{n+m} - x_n| \le (\alpha^m + \alpha^{m-1} + \cdots + \alpha^1) * |x_n - x_{n-1}|[/mm]
raus, was meine [mm]_{1)}[/mm] ist. Also mir ist schon klar, wie man darauf kommt, aber nicht wie man das beweist...
Was ich aber besser fände, wäre wenn
[mm]_{2)} |x_{n+m} - x_n| \le \alpha^n * |x_m - x_0|[/mm]
herauskommen würde, weil ich dann, wie unten beschrieben, den Approximationsfehler schön berechnen könnte. [mm]_{2)}[/mm] habe ich aber rein intuitiv aufgestellt. Es wäre gut, wenn es sich irgendwie beweisen ließe.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha^n * A = 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |x_{n+1} - x_n| = 0[/mm]
> ist mir schon klar (Einschließkriterium mit obiger Abschätzung) ).
> Ich weiß zwar, dass [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist und daher jede
> Cauchyfolge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, aber warum sollte das
> eine Cauchyfolge sein, wenn "nur" gilt:
> [mm] $|x_{n+1}-x_n| \rightarrow [/mm] 0$
> $(n [mm] \rightarrow \infty)$? [/mm] Die Definition einer Cauchyfolge verlangt
> jedenfalls eine schärfere Aussage (du kennst sie, nehme ich
> an, deshalb schreibe ich nur das, was ich meine, nochmal
> hin:)
> Cauchyfolge: ... es existiert [mm] $N_{\varepsilon}$, [/mm] so dass
> für alle $n,m [mm] \ge N_{\varepsilon}$...
[/mm]
Ich verstehe was du meinst... Aber kann ich nicht einfach als n (n+1) und als m (n) wählen und dann ist doch [mm]|a_n - a_m| < \varepsilon[/mm] ab einem bestimmten [mm]N_{\varepsilon}[/mm], weil es ja gegen 0 geht und daraus folgt doch, dass es eine Cauchyfolge ist und somit konvergiert!?! (Es ist ja eigentlich klar, dass eine Folge konvergiert, wenn die Abstände zwischen den Folgengliedern immer kleiner werden... ich weiß nur nie, wie ich das aufschreiben soll)
> > Für den Approximationsfehler braucht man das Ergebnis von...
> Das schauen wir uns gemeinsam an, wenn du eine Abschätzung
> für [m]|x_{n+m}-x_n|[/m] hergeleitet hast... ... und
> keine Vermutungen mehr anstellen must
Vielen Dank schon mal bis hierher
Bernhard
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bernhard,
> Hallo Marcel,
>
> Du hast in deinem ersten Beitrag geschrieben, dass
> [mm]|x_{n+m} - x_n|=|x_{n+m} - x_{n+m-1}+x_{n+m-1} - x_{n+m-2}+x_{n+m-2}- ... - x_{n+1} + x_{n+1} - x_n|[/mm]
>
> gilt.
> Genau so bin ich auch auf mein (den Schritt mit der
> Dreiecksungleichung hatte ich auch)
> [mm]_{1)} |x_{n+m} - x_n| \le (\summe_{k=1}^{m} (\alpha^m)) * |x_n - x_{n-1}|[/mm]
>
> gekommen, weil sich
> [mm]|x_{n+m} - x_{n+m-1}|[/mm]
> immer nach Voraussetzung nach oben
> mit
> [mm]\alpha * |x_{n+m-1} - x_{n+m-2}|[/mm]
> abschätzen lässt. Und
> wenn man jetzt dieses
> [mm]|x_{n+m-1} - x_{n+m-2}|[/mm]
> weiter abschätzt kommt
> irgendwann (wenn man es für alle Summanden macht)
> [mm]_{1)} |x_{n+m} - x_n| \le (\alpha^m + \alpha^{m-1} + \cdots + \alpha^1) * |x_n - x_{n-1}|[/mm]
>
> raus, was meine [mm]_{1)}[/mm] ist. Also mir ist schon klar, wie man
> darauf kommt, aber nicht wie man das beweist...
Indem man genau das, was du mir hier schreibst, auch hinschreibt und anstatt nach und nach abzuschätzen, ausnutzt, dass du schon etwas induktiv bewiesen hast:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest, dann gilt für alle $m [mm] \in \IN$:
[/mm]
[m]x_{n+m}-x_n=\summe_{k=n}^{n+m-1}{x_{k+1}-x_k}[/m] und wegen der Dreiecksungleichung folgt:
[m]|x_{n+m}-x_n|=|\summe_{k=n}^{n+m-1}{x_{k+1}-x_k}| \le \summe_{k=n}^{n+m-1}{|x_{k+1}-x_k|}[/m]
Weil nun für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $|x_{k+1}-x_k| \le \alpha^k [/mm] *A$, folgt:
[m]|x_{n+m}-x_n|=|\summe_{k=n}^{n+m-1}{x_{k+1}-x_k}| \le \summe_{k=n}^{n+m-1}{|x_{k+1}-x_k|} \le \summe_{k=n}^{n+m-1}{(\alpha^k *A)}=A*\summe_{k=n}^{n+m-1}{\alpha^k } \le ...[/m]
und jetzt vergrößere ich nur die Summe etwas, weil ja $0 [mm] \le \alpha^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, also auch für alle $k > n+m-1$:
[m]...\le A*\summe_{k=n}^{\infty}{\alpha^k } = A*\bruch{\alpha^n}{1-\alpha}[/m] (überlege dir das letzte "="-Zeichen mit der geometrischen Reihe/Summenformel), also:
(I) [m]|x_{n+m}-x_n| \le A*\bruch{\alpha^n}{1-\alpha}[/m]
Wenn dir dieser Weg nicht gefällt, so kannst du das ganz auch noch etwas formaler machen und das ganze mit Induktion aufschreiben, ich persönlich halte es aber für unnötig...
Die Ungleichung (I) ist nun sehr hilfreich, denn mit ihrer Hilfe kann man nun
folgern, dass [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge ist (überlege dir das bitte).
> Was ich aber besser fände, wäre wenn
> [mm]_{2)} |x_{n+m} - x_n| \le \alpha^n * |x_m - x_0|[/mm]
>
> herauskommen würde,...
> weil ich dann, wie unten beschrieben,
> den Approximationsfehler schön berechnen könnte. [mm]_{2)}[/mm] habe
> ich aber rein intuitiv aufgestellt. Es wäre gut, wenn es
> sich irgendwie beweisen ließe.
Hm, das gucke ich mir nachher evtl. nochmal an, momentan sehe ich es nicht. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
>
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \alpha^n * A = 0[/mm]
> >
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} |x_{n+1} - x_n| = 0[/mm]
>
> > ist mir schon klar (Einschließkriterium mit obiger
> Abschätzung) ).
> > Ich weiß zwar, dass [mm] $\IR$ [/mm] vollständig ist und daher jede
>
> > Cauchyfolge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, aber warum sollte das
>
> > eine Cauchyfolge sein, wenn "nur" gilt:
> > [mm] $|x_{n+1}-x_n| \rightarrow [/mm] 0$
> > $(n [mm] \rightarrow \infty)$? [/mm] Die Definition einer
> Cauchyfolge verlangt
> > jedenfalls eine schärfere Aussage (du kennst sie, nehme
> ich
> > an, deshalb schreibe ich nur das, was ich meine, nochmal
>
> > hin:)
> > Cauchyfolge: ... es existiert [mm] $N_{\varepsilon}$, [/mm] so
> dass
> > für alle $n,m [mm] \ge N_{\varepsilon}$...
[/mm]
> Ich verstehe was du meinst... Aber kann ich nicht einfach
> als n (n+1) und als m (n) wählen und dann ist doch [mm]|a_n - a_m| < \varepsilon[/mm]
> ab einem bestimmten [mm]N_{\varepsilon}[/mm], weil es ja gegen 0
> geht und daraus folgt doch, dass es eine Cauchyfolge ist
> und somit konvergiert!?! (Es ist ja eigentlich klar, dass
> eine Folge konvergiert, wenn die Abstände zwischen den
> Folgengliedern immer kleiner werden... ich weiß nur nie,
> wie ich das aufschreiben soll)
Du meinst also, es ist klar, dass eine Folge konvergiert, wenn der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder immer kleiner wird, weil die Folge dann eine Cauchyfolge ist?
Eigentlich ist es nicht so klar und im Allgemeinen auch falsch, eine solche Folge muss weder eine Cauchyfolge sein noch konvergieren.
Denn: Sei für $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm]a_n:=\summe_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}[/mm]. Dann gilt doch auch:
[mm]|a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{n+1}[/mm], d.h. der Abstand zweier aufeinanderfolgender Glieder von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] wird immer kleiner, aber dennoch konvergiert [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] nicht. Es ist aber ein Folge in [mm] $\IR$, [/mm] und in [m]\IR[/m] (mit dem üblichen Abstand) konvergiert eine Folge genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Also ist [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$, [/mm] weil sie nicht konvergiert, auch keine Cauchyfolge, erfüllt aber dennoch [mm]|a_{n+1}-a_n| \rightarrow 0[/mm] $(n [mm] \rightarrow \infty)$.
[/mm]
Wie gesagt, in der Definition von Cauchyfolge steht eine stärkere Bedingung. Wenn eine Folge [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge ist, dann gilt natürlich insbesondere:
[mm] $|b_{n+1}-b_n| \rightarrow [/mm] 0$ $(n [mm] \rightarrow \infty)$. [/mm]
Aber die Umkehrung macht Probleme (das zeigt ja meine oben definierte Folge [m](a_n)_{n \in \IN}[/m]).
Ansonsten:
Naja, vielleicht findest du ja auch alleine noch eine Abschätzung für den Approximationsfehler.
Du könntest (I) benutzen und dort $m [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] laufen lassen (das geht jetzt auch, weil wir jetzt ja auch wissen, dass [m](x_n)_{n \in \IN}[/m] eine Cauchyfolge ist und damit auch konvergiert), dann hättest du schonmal eine Abschätzung, wenn du $n$ festhältst. Aber das geht, denke ich, auch noch "feiner" (zumindest habe ich eine andere Abschätzung im Sinn), ich weiß nur noch nicht, wie. Wenn ich was besseres/anderes habe, melde ich mich nochmal...
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Do 10.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bernhard,
ich dachte, ich hätte eine bessere Abschätzung für den Approximationsfehler gefunden, aber als ich dann den Beweis am Abtippen war, habe ich gemerkt, dass das Unsinn war. Momentan fällt mir nichts besseres ein, als einfach die Abschätzung (I) zu benutzen. Tut mir leid...
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
|
