Fixpunkt und stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Di 21.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | a) Sei f: [0;1] [mm] \to [/mm] [0;1] stetig. Zeigen Sie, dass f mindestens einen Fixpunkt [mm] x_{0} [/mm] besitzt (d.h., [mm] f(x_{0})=x_{0}).
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass alle Abbildungen f: [mm] \IN \to \IR [/mm] stetig sind. |
hallo
wollte mal fragen ob jemand meine aufgaben durchschauen kann (besonders auf form-fehler) und mir vllt noch ein paar hinweise geben kann.
beim aufgabenteil b) habe ich keine ahnung wie ich an die aufgabe rangehen soll und glaube das meine antwort auch falsch ist
zu a):
ich definiere mir eine hilfsfunktion: g: [0;1] [mm] \to \IR, [/mm] g(x) = f(x) - x (ist als komposition stetiger funktionen wieder stetig
jetzt weiß ich, dass jede stetige funktion auf einem geschlossenen intervall [a;b] mindestens einen fixpunkt f(x)=x hat (haben f(a) und f(b) versch. vorzeichen, existiert mindestens eine nullstelle)
dann gilt: g(x) = f(x) - x [mm] \Rightarrow [/mm] g(a) = f(a) - a und g(b) = f(b) - b
nach dem Zwischenwertsatz für stetige funktionen existiert also ein [mm] x_{0} \in [/mm] [a;b] mit [mm] g(x_{0}) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow f(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
zu b):
[mm] \IR [/mm] ist nach definition offen, dh nach dem Stetigkeitskriterium sind die urbilder offener mengen wieder offen [mm] \gdw [/mm] f ist stetig
ich habe die b) auch mit dem [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] versucht, wusste aber nicht wie ich die abbildung aufschreiben kann, so dass ich dann ein [mm] \varepsilon [/mm] ausrechnen kann
danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 21.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Sei f: [0;1] [mm]\to[/mm] [0;1] stetig. Zeigen Sie, dass f
> mindestens einen Fixpunkt [mm]x_{0}[/mm] besitzt (d.h.,
> [mm]f(x_{0})=x_{0}).[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, dass alle Abbildungen f: [mm]\IN \to \IR[/mm] stetig
> sind.
> hallo
>
> wollte mal fragen ob jemand meine aufgaben durchschauen
> kann (besonders auf form-fehler) und mir vllt noch ein paar
> hinweise geben kann.
> beim aufgabenteil b) habe ich keine ahnung wie ich an die
> aufgabe rangehen soll und glaube das meine antwort auch
> falsch ist
>
>
> zu a):
>
> ich definiere mir eine hilfsfunktion: g: [0;1] [mm]\to \IR,[/mm]
> g(x) = f(x) - x (ist als komposition stetiger funktionen
> wieder stetig
man könnte schon den Zielbereich von [mm] $g\,$ [/mm] einschränken. Denn wenn
man zwei Zahlen aus [mm] $[0,1]\,$ [/mm] subtrahiert, kann nur eine Zahl aus [mm] $[-1,1]\,$
[/mm]
rauskommen. (Wenn Du magst: Beweis mir das mal bitte!)
> jetzt weiß ich, dass jede stetige funktion
[mm] $g\,$ [/mm] ist also stetig!
> auf einem
> geschlossenen intervall [a;b] mindestens einen fixpunkt
> f(x)=x hat (haben f(a) und f(b) versch. vorzeichen,
> existiert mindestens eine nullstelle)
Da redest Du Unsinn. Erstmal: Geht's nun um [mm] $f\,$ [/mm] oder um [mm] $g\,$? [/mm] Und ich
gebe Dir eine einfache Funktion ohne Fixpunkt an, die trotzdem auf einem
abgeschlossenen Intervall definiert ist: [mm] $r(x):=x+1\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$
[/mm]
definiert!
Bei Deinem Ansatz oben ist zu beweisen: Die Funktion $g: [0,1] [mm] \to [/mm] [-1,1]$
definiert durch $g(x):=f(x)-x$ hat mindestens eine Nullstelle. Denn genau
die Nullstellen von [mm] $g\,$ [/mm] sind doch die Fixpunkte von [mm] $f\,.$
[/mm]
> dann gilt: g(x) = f(x) - x [mm]\Rightarrow[/mm] g(a) = f(a) - a
> und g(b) = f(b) - b
Ja, aus der Definition von $g(x):=f(x)-x$ folgt insbesondere auch
[mm] $g(a)=f(a)-a\,$ [/mm] und [mm] $g(b)=f(b)-b\,$ [/mm] - jedenfalls, sofern $a,b [mm] \in [0,1]\,.$
[/mm]
Und weiter?
> nach dem Zwischenwertsatz für stetige funktionen existiert
> also ein [mm]x_{0} \in[/mm] [a;b] mit [mm]g(x_{0})[/mm] = 0
Bitte? Wir wissen gar nichts über [mm] $g(a)\,$ [/mm] und [mm] $g(b)\,,$ [/mm] ja, wir wissen
ja noch nicht einmal, wer denn [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] überhaupt sind!
> [mm]\Rightarrow f(x_{0})[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
Schlussendlich: Da stecken schon die richtigen Ideen drin, aber es ist
alleine aus dem Aufschrieb der Beweis nicht erkennbar.
Es ist doch einfach: Was Du richtig erkannt hast, ist, dass $g(x):=f(x)-x$ -
ob als Abbildung $[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] oder $[0,1] [mm] \to [-1,1]\,,$ [/mm] ist eigentlich egal -
eine stetige Funktion ist. Es ist auch richtig, dass man mit dem ZWS beweisen
kann, dass diese Funktion eine Nullstelle haben muss. Aber bei Dir ist nicht
klar, wie das zustandekommt.
Ich mach's Dir nun klar: Wir wissen ja, dass $0 [mm] \le [/mm] f(0) [mm] \le [/mm] 1$ gilt. Und wir
können o.E. annehmen, dass $f(0) > [mm] 0\,$ [/mm] ist. Denn andernfalls ist [mm] $0\,$
[/mm]
schon Fixpunkt von [mm] $f\,.$ [/mm] Klar?
Analog: $f(1) < [mm] 1\,.$ [/mm] Soweit klar?
Was folgt denn nun für [mm] $g(0)\,$ [/mm] (Vorzeichen!) und was für [mm] $g(1)\,$?
[/mm]
Und dann kannst Du mit dem ZWS kommen!
>
> zu b):
> [mm]\IR[/mm] ist nach definition offen, dh nach dem
> Stetigkeitskriterium sind die urbilder offener mengen
> wieder offen [mm]\gdw[/mm] f ist stetig
Das macht keinen Sinn bzgl. dem, was Du zeigen sollst. Du kannst es
mit dem "Urbilder offener Mengen sind offen"-Kriterium durchaus machen:
Du hast zu zeigen: Ist $O [mm] \subseteq \IR$ [/mm] offen, so ist [mm] $f^{-1}(O)$ [/mm] offen.
Allerdings hast Du zu beachten: Wir betrachten im Definitionsbereich
[mm] $\IN$ [/mm] mit der vom Betrag auf [mm] $\IR$ [/mm] induzierten Metrik eingeschränkt auf
[mm] $\IN\,,$ [/mm] also wenn [mm] $d_{|.|}$ [/mm] die vom Betrag induzierte Metrik als Abbildung
[mm] $\IR \times \IR \to [0,\infty)$ [/mm] meint, ist [mm] $d_{\IN}$ [/mm] die Einschränkung von
[mm] $d_{|.|}$ [/mm] auf [mm] $\IN \times \IN\,.$ [/mm] Und bzgl. dieser Metrik ist jede Teilmenge
$M [mm] \subseteq \IN$ [/mm] offen in [mm] $\IN\,.$ [/mm] Wenn Du Dir das klargemacht hast,
brauchst Du eigentlich auch nix mehr zu beweisen. Tipp:
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachte (bzgl. [mm] $d_{\IN}$) [/mm] die [mm] $4/5\,$-Umgebung [/mm] (nur aus rein didaktischem Grund steht da so eine "komische" Zahl) von [mm] $n\,.$
[/mm]
Aber: Zwei Alternativen:
1.) Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IN\,,$ [/mm] die gegen $a [mm] \in \IN$ [/mm] konvergiert,
so ist nachzuweisen, dass dann schon [mm] $f(a_n) \to [/mm] f(a)$ folgt. Das ist trivial,
denn: Wenn Folgen mit Werten in [mm] $\IN$ [/mm] konvergieren, dann nehmen alle
bis auf endlich viele Folgenglieder den Wert des Grenzwertes an. (Beweis?)
Daraus folgt die Behauptung sofort!
2.) Beim [mm] $\epsilon-\delta-x_0-$Kriterium [/mm] hast Du zu zeigen:
Ist [mm] $x_0 \in \IN$ [/mm] beliebig, so finden wir zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon}$ [/mm] (es darf also sowohl von [mm] $x_0$ [/mm] als auch
von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängig gewählt werden) derart, dass aus ($x [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$) [/mm]
schon [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt.
Das tolle ist: Wir können solche [mm] $\delta$ [/mm] sogar UNABHÄNGIG SOWOHL VON [mm] $x_0$ [/mm] als auch [mm] $\epsilon$ [/mm] angeben: Wähle irgendein $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] 1\,.$
[/mm]
Konkret kannst Du Dir das ganze auch mit [mm] $\delta=1/2$ [/mm] überlegen.
Denn: Dann folgt [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \epsilon\,$ [/mm] für alle
$x [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] 1/2\,.$ [/mm] Denn: Welche $x [mm] \in \IN$ [/mm] gibt's denn
mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] 1/2\,$?
[/mm]
> ich habe die b) auch mit dem [mm]\varepsilon-\delta-Kriterium[/mm]
> versucht, wusste aber nicht wie ich die abbildung
> aufschreiben kann, so dass ich dann ein [mm]\varepsilon[/mm]
> ausrechnen kann
[mm] $\varepsilon$ [/mm] (bzw. ich habe es [mm] $\epsilon$ [/mm] genannt) wird nicht ausgerechnet -
sondern das gibst Du Dir als (beliebige, aber feste) Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] vor. Das
[mm] $\delta$ [/mm] wäre dann passend auszurechnen - wobei letzteres eigentlich
meint: Mit (geeigneten) Abschätzungen ein passendes zu bestimmen.
Denn logisch: Wenn ich mal ein passendes [mm] $\delta [/mm] > 0$ so bestimmt habe,
dann kann ich unendlich viele passende angeben. Ich muss das gefundene
nur verkleinern und dabei $> [mm] 0\,$ [/mm] lassen. Also etwa das gefundene
[mm] $\delta [/mm] > 0$ durch $d [mm] \ge [/mm] 1$ dividieren!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 23.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
hallo,
tut mir leid das ich erst jetzt antworten kann, war gestern nicht zuhause
zu a):
also es gilt f(0) > 0 und f(1) < 1 (ansonsten wären 0 und 1 ja schon ein fixpunkt wie du gesagt hast)
[mm] \Rightarrow [/mm] g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0
g(1) = f(1) - 1 < 0
dh wir haben zwischen g(0) und g(1) einen vorzeichenwechsel, also eine stelle an der g(x) = 0 ist.
[mm] \Rightarrow [/mm] mit dem ZWS folgt also: [mm] \exists x_{0} \in [/mm] [0;1] mit [mm] g(x_{0}) [/mm] = 0 [mm] \rightarrow f(x_{0}) [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
> man könnte schon den Zielbereich von $ [mm] g\, [/mm] $ einschränken. Denn wenn man zwei Zahlen aus $ [mm] [0,1]\, [/mm] $ subtrahiert, kann nur eine Zahl aus $ > [mm] [-1,1]\, [/mm] $ rauskommen. (Wenn Du magst: Beweis mir das mal bitte!)
Sei M:= [0;1], dann ist:
max(M) - min(M) = 1 - 0 =1
min(M) - max(M) = 0 - 1 = -1
weiß nicht ob du das so gemeint hast, oder ob es noch einen anderen weg gibt
zu b):
alternative 1):
> Wenn Folgen mit Werten in $ [mm] \IN [/mm] $ konvergieren, dann nehmen alle bis auf endlich viele Folgenglieder den Wert des Grenzwertes an. (Beweis?)
was genau muss ich hier beweisen? das ist doch die definition des Grenzwertes, dass ab einem gewissen index alle bis auf endlich viele folgenglieder in [mm] [a-\varepsilon [/mm] ; a + [mm] \varepsilon] [/mm] liegen.
[mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = f(a)
und das geht ja nur wenn alle funktionen stetig sind.
keine ahnung wie ich das anders zeigen könnte, hab grad nen knoten im hirn
alternative 2):
> Denn: Dann folgt $ [mm] |f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \epsilon\, [/mm] $ für alle
> $ x [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] 1/2\,. [/mm] $ Denn: Welche $ x [mm] \in \IN [/mm] $ gibt's
> denn mit $ [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] 1/2\, [/mm] $?
da x und [mm] x_{0} \in \IN [/mm] liegen, gilt das doch für alle x = [mm] x_{0}. [/mm] ansonsten wäre der abstand doch mindestens immer 1
das mit der auf [mm] \IR [/mm] induzierten metrik eingeschränkt auf [mm] \IN [/mm] habe ich verstanden, habe aber keine ahnung wie ich da die 4/5-Umgebung auch nur ansatzweise gebrauchen könnte.
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Hiho,
> also es gilt f(0) > 0 und f(1) < 1 (ansonsten wären 0 und
> 1 ja schon ein fixpunkt wie du gesagt hast)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(0) = f(0) - 0 = f(0) > 0
> g(1) = f(1) - 1 < 0
>
> dh wir haben zwischen g(0) und g(1) einen
> vorzeichenwechsel, also eine stelle an der g(x) = 0 ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] mit dem ZWS folgt also: [mm]\exists x_{0} \in[/mm] [0;1]
> mit [mm]g(x_{0})[/mm] = 0 [mm]\rightarrow f(x_{0})[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Wenn Folgen mit Werten in [mm]\IN[/mm] konvergieren, dann nehmen
> alle bis auf endlich viele Folgenglieder den Wert des
> Grenzwertes an. (Beweis?)
>
> was genau muss ich hier beweisen? das ist doch die
> definition des Grenzwertes, dass ab einem gewissen index
> alle bis auf endlich viele folgenglieder in [mm][a-\varepsilon[/mm]
> ; a + [mm]\varepsilon][/mm] liegen.
Ja, aber das heißt doch noch lange nicht, dass eine Folge dann auch irgendwann konstant ist! Nimm bspw. [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}$, [/mm] wann wird die konstant?
Für eine Folge aus [mm] \IN [/mm] gilt dies aber!
D.h. für eine Folge aus [mm] \IN [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] a$ gilt [mm] $a_n \equiv [/mm] a$ für n ausreichend groß!
Du hattest ja schon die richtige Idee:
> da x und [mm]x_{0} \in \IN[/mm] liegen, gilt das doch für alle x =
> [mm]x_{0}.[/mm] ansonsten wäre der abstand doch mindestens immer 1
> [mm]f(\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n})[/mm] = f(a)
> und das geht ja nur wenn alle funktionen stetig sind.
Jein!
Das sollst du ja gerade zeigen, ist aber mit dem Kriterium oben recht einfach:
denn: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(a) = f(a) = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n})$
[/mm]
MFG,
Gono.
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> Ja, aber das heißt doch noch lange nicht, dass eine Folge
> dann auch irgendwann konstant ist! Nimm bspw. [mm]a_n = \bruch{1}{n}[/mm],
> wann wird die konstant?
>
> Für eine Folge aus [mm]\IN[/mm] gilt dies aber!
> D.h. für eine Folge aus [mm]\IN[/mm] mit [mm]a_n \to a[/mm] gilt [mm]a_n \equiv a[/mm]
> für n ausreichend groß!
die idee mit [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] hatte ich auch, die folge wird eben für genügend große n konstant (Nullfolge).
jetzt frage ich mich aber wie das mit der folge [mm] $b_n [/mm] = n+1$ aussieht, weil die doch divergiert und somit ein bsp wäre in dem $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n \not= [/mm] b $
oder überseh ich hier was gravierendes?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 26.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei M:= [0;1], dann ist:
> max(M) - min(M) = 1 - 0 =1
> min(M) - max(M) = 0 - 1 = -1
>
> weiß nicht ob du das so gemeint hast, oder ob es noch
> einen anderen weg gibt
das ist zwar auch richtig, aber da müßte man schon wieder kurz begründen, warum
es reicht, diese Differenzen zu betrachten (was eigentlich einfach ist) - und es fehlt
noch kurz der eigentliche Teil: Was folgt daraus? Ich meinte es (noch) elementarer:
Für $x,y [mm] \in [/mm] [0,1]$ folgt aus $0 [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le [/mm] 1$ sofort
$$y-x [mm] \le [/mm] 1-x [mm] \le 1-0\,.$$
[/mm]
(denn $y-x [mm] \le [/mm] 1-x [mm] \gdw [/mm] y [mm] \le 1\,,$ [/mm] und letzteres ist gegeben, sowie $1-x [mm] \le [/mm] 1-0 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le x\,,$ [/mm] und letzteres ist gegegen!)
Ferner
$$y-x [mm] \ge [/mm] 0-x [mm] \ge 0-1\,.$$
[/mm]
Damit gilt $-1 [mm] \le [/mm] y-x [mm] \le 1\,.$ [/mm] Zudem auch $-1 [mm] \le [/mm] x-y [mm] \le 1\,.$ [/mm] (Wenn man's nicht direkt einsieht: Etwa durch Vertauschung von $x [mm] \leftrightarrow y\,.$)
Gruß,
Marcel
[/mm]
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