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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:20 Do 10.09.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Die Matrix:
[mm] \pmat{1&0&-1\\0&1&1\\0&0&1}
[/mm]
induziert eine Kollineation:
[mm] \sigma [/mm] : P [mm] \rightarrow [/mm] P : [mm] x\mathbb{R} \mapsto (Mx)\mathbb{R} [/mm] von [mm] \Pi [/mm] = (P,G) = [mm] PG(2,\mathbb{R})
[/mm]
(a) Zeigen Sie: [mm] \sigma [/mm] ist eine Elation. Bestimmen Sie Achse und Zentrum. |
Hallo zusammen,
ich bereite mich zur Zeit auf eine Prüfung in Geometrie vor und dabei wird es unter anderem um Automorphismen zwischen affinen und projektiven Ebenen gehen. Für alle die mit obigem Kauderwelsch noch nichts anfangen können hier einmal meine Übersetzung:
Kollineation: Isomorphismus der Geraden auf Gearaden abbildet also eine lineare Abbildung im Sinne der Ordnung in der Geometrie
[mm] PG(2,\mathbb{R}): [/mm] Projektive Geometrie der zweiten Dimension über dem Körper der rellen Zahlen. Hier sind die Punkte eindimensionale Untervektorräume und die Geraden zweidimensionale Untervektorräume.
Elation: Eine Zentralkollineation bei der das Zentrum auf der Achse liegt
Achse: Eine Fixpunktgerade
Zentrum: Ein Punkt der die Eigenschaft hat, dass alle Geraden durch den Punkt Fixgeraden sind.
Soviel dazu. Mein Problem ist jetzt wie ich die Achse und das Zentrum bestimmen muss. Gewöhnlich kann man solche Probleme Über Eigenwerte lösen. Leider lliegt hier drei mal der Eigenwert 1 vor wodurch ich zwar die Achse finden konnte:
[mm] \lambda \vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Aber ich weiß nun nicht wie ich das Zentrum finde... es muss ja ein Punkt auf der Achse sein wie ich ihn genau festhalten kann weiß ich aber nicht.
Ich hoffe ihr habt dazu einen Tipp für mich.
Danke und beste Grüße,
Theta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 18.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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