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a) "Fixpunkt" bedeutet, wie der Name andeutet, dass etwas "fix" bleibt. Also sind die Lösungen der Gleichungen [mm]f(x) = x[/mm] gesucht.
Deine Gleichung kannst du allerdings nicht explizit nach x auflösen (d.h. du kannst umformen, so lange du willst, du wirst es nie auf die Form "x = irgendwas ohne x" bringen können).
Was mir nicht klar ist: du schreibst, dass eine Gleichung gegeben ist, wie heißt diese Gleichung? Ist das [mm]cos(x) -x^2 = 0[/mm]? Dann müsstest du jetzt erstmal eine Funktion f finden, für die diese Gleichung ein Fixpunktproblem ist, sprich: [mm]x = \bruch{cox(x)}{x} [/mm] wäre dann die Fixpunktgleichung für die Funktion [mm]f(x) = \bruch{cox(x)}{x}[/mm]. Du schreibst aber auch [mm]f(x) = cos(x) - x^2[/mm]. Dazu lautet die Fixpunktgleichung [mm]cos(x) - x^2 = x[/mm]. Da musst du dich noch entscheiden, bevor du an die Lösung gehst.
Für die Näherungslösung in b) ist dann z.B. das  Newton-Verfahren gut. Das solltest du dir aber eigentlich erstmal selbst anschauen, weil es eigentlich nur eine Formel ist, in die du die richtigen Werte einsetzen musst. Und in deinem Fall brauchst du dazu auch keine Jacobi- oder sonst eine Matrix. Auch die Herleitung dieser Formel ist recht einfach, falls du da auch noch nachschauen willst.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Do 09.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hi!
Danke für die Antwort ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Achso... dachte das ginge so, hatte da nämlich ein Beispiel gefunden, das so aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und da ist ja so umgeformt, dass jeweils eine Variable (eindimensional?) alleine auf einer Seite steht.
Aber wenn ich's so mache wie du geschrieben hast ist die Lösung zu a) nur:
[mm] x=\cos(x)-x^2 [/mm] und das wars? 
zu b) kannte ich die Formel schon aber dachte, dass ich das irgendwie mit der Lösung von a) verwursten muss.
Denn so kann ich ja einfach einsetzen:
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\bruch{\cos(x_n)-x_n^2}{-\sin(x_n)-2*x_n}=\bruch{-x_n*\sin(x_n)-2*x_n^2-\cos{x_n}+x_n^2}{-\sin(x_n)-2*x_n}=\bruch{x_n^2+x_n*\sin(x_n)+\cos(x_n)}{\sin(x_n)+2*x_n}
[/mm]
Als Startwert wähle ich 1 nachdem ich mir die beiden Graphen von [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] f(x)=\cos(x) [/mm] in ein Koordinatensystem skizziert habe und sehe, dass es 2 Schnittpunkte gibt, der erste liegt zwischen -1 und 0 und der zweite zwischen 0 und 1...
also bei Startwert [mm] x_0=1:
[/mm]
[mm] x_1=0,8382
[/mm]
[mm] x_2=0,8242
[/mm]
[mm] x_3=0,8241
[/mm]
Und dann wäre man ja mit dem ersten Schnittpunkt schon fertig (auf 3 dezimale genau)
Startwert [mm] x_0=-1:
[/mm]
[mm] x_1=-0,8382
[/mm]
[mm] x_2=-0,8242
[/mm]
[mm] x_3=-0,8241
[/mm]
...
Ist die Aufgabe jetzt gelöst?
Danke und Gruß,
tedd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Ich habe die Werte jetzt nicht nachgerechnet und geprüft, aber meiner Ansicht nach ist die Rechnung vom Prinzip her korrekt.
Dein Beispiel ist tatsächlich ein Beispiel für eine "zweidimensionale" Frage, d.h. du hast dort eine Funktion [mm] f(x,y)=\vektor{f_1(x,y) \\ f_2(x,y)} [/mm] und dort muss die erste Komponente des Bildvektors gleich x und die zweite gleich y sein, um einen Fixpunkt zu erhalten. Wenn du das Prinzip verstanden hast, dann ist es aber genauso einfach wie deine eigene Aufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 11.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hmmm...
ich verstehe das irgendwie immernoch nicht so recht.
Ich kann doch nicht einfach x auf die andere Seite schreiben und bin dann fertig.
Meiner Meinung nach müsste man durch äquivalente Umformungen ein x auf die andere Seite bringen.
Hmhmhm
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
wenn ich dein Beispiel richtig verstanden
habe, geht es darum, eine Lösung der
Gleichung
$\ [mm] cos(x)-x^2\ [/mm] =\ 0$
zu finden, und zwar durch Iteration einer
dazu geeigneten Funktion.
Zu diesem Zweck bringt man die Gleichung
auf die Form
$\ x\ =\ g(x)$
Dies ist meist auf verschiedene Arten möglich,
im vorliegenden Beispiel etwa:
$\ x\ =\ [mm] \bruch{cos(x)}{x}\ [/mm] =\ [mm] g_1(x)$
[/mm]
$\ x\ =\ [mm] arccos(x^2)\ [/mm] =\ [mm] g_2(x)$
[/mm]
$\ x\ =\ [mm] \sqrt{cos(x)}\ [/mm] =\ [mm] g_3(x)$
[/mm]
Nun eignet sich aber nicht jede der drei rechts
stehenden Funktionen als Iterationsfunktion
zur Lösung der Gleichung. Starten wir zum
Beispiel die Iteration mit allen 3 Funktionen
mit dem Startwert [mm] x_0=1, [/mm] so ergeben sich
folgende Zahlenfolgen:
mit [mm] g_1:
[/mm]
1,0.54030,1.58717,-0.01032,-96.916,0.00918,.....
mit [mm] g_2:
[/mm]
1,0,1.57080,0, ....
Nun, da war der Startwert 1 recht ungeschickt,
also zweiter Lauf mit [mm] x_0=0.8 [/mm] :
0.8,0.87630,0.69524,1.06630, Error !
Das funktioniert also auch nicht.
Nun mit [mm] g_3:
[/mm]
1,0.73505,0.86128,0.80714,0.83161,0.82079,
0.82562,0.82347,0.82443,0.82400,0.82419,
0.82410,0.82414,0.82413,0.82413,.....
Nach 13 Schritten haben wir offenbar ein
bis zur 5. Nachkommastelle genaues
Ergebnis.
Ob eine bestimmte Funktion g sich für
das Iterationsverfahren eignet, hängt
davon ab, wie steil der Graph von g im
gesuchten Schnittpunkt [mm] S(x_S/y_S) [/mm] mit der
Geraden y=x ist. Ist [mm] |g'(x_S)|<1, [/mm] so
konvergiert das Verfahren bei geeigneter
Wahl des Startpunktes gegen die gesuchte
Lösung [mm] x_S.
[/mm]
Durch geschickte Umformung kann man
eine viel schnellere Konvergenz erzielen.
Man kann obige Gleichung etwa auch
auf diese Form bringen:
$\ x\ =\ [mm] \bruch{cos(x)}{3\,x}+\bruch{2}{3}\,x\ [/mm] =\ [mm] g_1(x)$
[/mm]
Mit dem Startwert [mm] x_0=1 [/mm] ergibt sich dann
die Folge:
1,0.84677,0.82527,0.82417,0.82413,0.82413,.....
Für fünf richtige Dezimalen haben nun 4
Rechenschritte ausgereicht !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 11.07.2009 | | Autor: | tedd |
Sorry, mitteilung war nur ein Versehen ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der trick von al ist viel einfacher
[mm] x^2=3x^2-2x^2
[/mm]
[mm] x^2=cosx
[/mm]
[mm] 3x^2=cosx+2x^2 [/mm] durch 3x teilen.
du kannst auch beliebig anders die [mm] x^2 [/mm] aufteilen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 11.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hi!
> Hallo
> der trick von al ist viel einfacher
> [mm]x^2=3x^2-2x^2[/mm]
> [mm]x^2=cosx[/mm]
> [mm]3x^2=cosx+2x^2[/mm] durch 3x teilen.
> du kannst auch beliebig anders die [mm]x^2[/mm] aufteilen
> Gruss leduart
Haha das ist ja cool.
Danke für die Hilfe!
Nun noch zur Frage mit dem Newton-Verfahren.
Hat man das schon angewandt wenn man mit g(x) iteriert?
oder kann man das Newton-Verfahren auch irgendwie auf g(x) anwenden? Denn ich habe mal(habe jetzt grad leider keine Quelle) gelesen, dass man das Problem einer Fixpunktgleichung auf ein Nullstellenproblem übertragen kann(wahrscheinlich genau das was Al-Chwarizmi gemacht hat?)
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum schreibst du nicht einfach mal das Newton Verfahren fuer dein Problem hin?
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Sa 11.07.2009 | | Autor: | tedd |
Hmn meinst du so?
$ [mm] f(x)=\cos(x)-x^2=0 [/mm] $
$ f'(x)=-sin(x)-2*x $
Ich zitiere mich ab hier mal selber
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\bruch{\cos(x_n)-x_n^2}{-\sin(x_n)-2*x_n}=\bruch{-x_n*\sin(x_n)-2*x_n^2-\cos{x_n}+x_n^2}{-\sin(x_n)-2*x_n}=\bruch{x_n^2+x_n*\sin(x_n)+\cos(x_n)}{\sin(x_n)+2*x_n}[/mm]
>
> Als Startwert wähle ich 1 nachdem ich mir die beiden
> Graphen von [mm]f(x)=x^2[/mm] und [mm]f(x)=\cos(x)[/mm] in ein
> Koordinatensystem skizziert habe und sehe, dass es 2
> Schnittpunkte gibt, der erste liegt zwischen -1 und 0 und
> der zweite zwischen 0 und 1...
>
> also bei Startwert [mm]x_0=1:[/mm]
>
> [mm]x_1=0,8382[/mm]
> [mm]x_2=0,8242[/mm]
> [mm]x_3=0,8241[/mm]
> Und dann wäre man ja mit dem ersten Schnittpunkt schon
> fertig (auf 3 dezimale genau)
>
> Startwert [mm]x_0=-1:[/mm]
> [mm]x_1=-0,8382[/mm]
> [mm]x_2=-0,8242[/mm]
> [mm]x_3=-0,8241[/mm]
> ...
Und da sehe ich, dass das die gleiche Stelle (zumindest die positive, da die iteration für einen negativen Startwert bei der Fixpunktgleichung noch nicht durchgeführt wurden ist) ist wie bei der Fixpunktiteration.![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Nur stellt sich mir jetzt die Frage (okay da müsste ich wahrscheinlich den Prof fragen) ob aufgabenteil b) gelöst werden soll indem ich mit der Fixpunktgleichung iteriere (ist ja nicht das gleiche wie das Newton-Verfahren?!) oder mit dem Newton Verfahren....
Danke und Gruß,
ted
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei a) hast du die Auswahl,welche Fixpktgl du nimmst.
bei b) steht ausdruecklich Newton, da kann man doch nix reiinterpretieren. und dass die fixpktgl. die Al aufgestellt hat nicht das newtonverfahen sind siehst du ja wohl selbst.
Gruss leduart
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![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
