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Fixpunktiteration: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Mo 20.10.2014
Autor: Striker_03

Aufgabe
Eine Fixpunktiteration  $ x^(^t^+^1^) [mm] =f(x^t)) [/mm] $  sei def. durch
$ [mm] f(x)=1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2}, [/mm] x>0. $

a) Verifizieren Sie für f:[1.75,2] [mm] ->\IR [/mm] die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes. Wie groß ist die Kontraktionskonstante q?

b) Ich soll nun mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes für $ x^(^0^) =1.8 $ eine Fehlerschranke für $ [mm] \left| (x^(^2^0^) - z) \right| [/mm] $ angeben. Auf wieviele Stellen hinter dem Dezimalpunkt ist $ [mm] x^{^2^0^} [/mm]  $ korrekt?

Hallo,


zu a)

$ f´(x) = [mm] -\bruch{1}{x^2}-\bruch{2x}{(x^2)^2} \Rightarrow \left| f´(x) \right| \le \bruch{1}{(1,75)^2}+2*\bruch{1,75}{(1,75^2)^2} [/mm] = 0,699708455 := q  < 1 $

wäre das richtig?

zu b)
da t = 20, folgt:

$ [mm] \bruch{0,699708455^2^0}{(1-0,699708455)}* [/mm] 0,064197531 [mm] \le [/mm] 10^(^-^k^) $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 10^k \le [/mm] 5911.291063 $ [mm] \gdw [/mm] $ k [mm] \le \bruch{ln(5911.291063)}{ln(10)} [/mm] $ [mm] \approx\ [/mm] 3.771682342

=> k=3

also kann ich sagen, dass $ [mm] x^2^0 [/mm] $ auf k=3  nachkommastellen korrekt ist?

LG


        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 20.10.2014
Autor: fred97


> Eine Fixpunktiteration  [mm]x^(^t^+^1^) =f(x^t))[/mm]  sei def.
> durch
> [mm]f(x)=1+\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2}, x>0.[/mm]
>  
> a) Verifizieren Sie für f:[1.75,2] [mm]->\IR[/mm] die
> Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes. Wie groß
> ist die Kontraktionskonstante q?
>  
> b) Ich soll nun mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes
> für [mm]x^(^0^) =1.8[/mm] eine Fehlerschranke für [mm]\left| (x^(^2^0^) - z) \right|[/mm]
> angeben. Auf wieviele Stellen hinter dem Dezimalpunkt ist
> [mm]x^(^2^0^) [/mm] korrekt?
>  Hallo,
>  
>
> zu a)
>  
> [mm]f´(x) = -\bruch{1}{x^2}-\bruch{2x}{(x^2)^2} \Rightarrow \left| f´(x) \right| \le \bruch{1}{(1,75)^2}+2*\bruch{1,75}{(1,75^2)^2} = 0,699708455 := q < 1[/mm]
>  
> wäre das richtig?

Das stimmt. Aber zu den Vor. des Fixpunktsatzes gehört noch

f([1.75,2]) [mm] \subseteq [/mm] [1.75,2].


>  
> zu b)
>  da t = 20, folgt:
>  
> [mm]\bruch{0,699708455^2^0}{(1-0,699708455)}* 0,064197531 \le 10^(^-^k^)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]  [mm]10^k \le 5911.291063[/mm] [mm]\gdw[/mm]  [mm]k \le \bruch{ln(5911.291063)}{ln(10)}[/mm]
> [mm]\approx\[/mm] 3.771682342
>  
> => k=3
>  
> also kann ich sagen, dass [mm]x^2^0[/mm] auf k=3  nachkommastellen
> korrekt ist?

Ja

FRED

>  
> LG
>  


Bezug
                
Bezug
Fixpunktiteration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Mo 20.10.2014
Autor: Striker_03

Ok danke.

LG

Bezug
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