Fixpunktiteration < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 So 01.11.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine Matrix und [mm] x_{0} \in \IR^{n} [/mm] beliebig. Führen Sie die Fixpunktiteration aus dem Satz von Picard-Lindelöf für die Differentialgleichung y´(t)=Ay(t) mit der Anfangsbedingung [mm] y(0)=x_{0} [/mm] durch.
Hinweis: Sie erhalten eine matrizenwertige Reihe, die Sie aus der Analysis II kennen. |
Hallo!
Ich habe diese Aufgabe auf meinem Aufgabenzettel, jedoch weiß ich nicht, wie ich das machen muss. Wäre schön, wenn es mir jemand erklären könnte (entweder daran oder an einem Beispiel).
LG Julsch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo julsch,
> Sei A [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] eine Matrix und [mm]x_{0} \in \IR^{n}[/mm]
> beliebig. Führen Sie die Fixpunktiteration aus dem Satz
> von Picard-Lindelöf für die Differentialgleichung
> y´(t)=Ay(t) mit der Anfangsbedingung [mm]y(0)=x_{0}[/mm] durch.
>
> Hinweis: Sie erhalten eine matrizenwertige Reihe, die Sie
> aus der Analysis II kennen.
> Hallo!
>
> Ich habe diese Aufgabe auf meinem Aufgabenzettel, jedoch
> weiß ich nicht, wie ich das machen muss. Wäre schön,
> wenn es mir jemand erklären könnte (entweder daran oder
> an einem Beispiel).
Für das Anfangswertproblem
[mm]y'=f\left(t,y\right), \ y\left(0\right)=y_{0}[/mm]
gilt:
[mm]y_{k+1}\left(t\right)=y_{0}+\integral_{0}^{t}{f\left( \ s,y_{k}\left(s\right) \ \right) \ ds}[/mm]
Hier ist [mm]f\left( \ s,y_{k}\left(s\right) \ \right)=A*y_{k}\left(s\right)[/mm] mit [mm]y_{0}\left(s\right)=y_{0}[/mm]
Das setzt Du in die obige Formel ein.
Einmaliges Einsetzen liefert:
[mm]y_{1}\left(t\right)=y_{0}+\integral_{0}^{t}{A*y_{0}\left(s\right) \ ds}=y_{0}+\integral_{0}^{t}{A*y_{0} \ ds}=y_{0}+A*y_{0}*t[/mm]
Das setzt Du jetzt wieder in diese Formel ein:
[mm]y_{2}\left(t\right)=y_{0}+\integral_{0}^{t}{A*y_{1}\left(s\right) \ ds}[/mm]
Das machst Du solange, bis Du erkennst,
um welche Reihe es sich handelt.
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> LG Julsch
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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