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| Aufgabe | f stetige Funktion auf Q = { f(x, y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x, y [mm] \le [/mm] 1}
und |f(x, y)| < 1 fur alle x und y.
Zeige, dass es eine stetige Funktion g(x) auf [0, 1] gibt, mit:
g(x) + [mm] \integral_{0}^{1}{f(x, y) g(y) dy} [/mm] = [mm] exp(x^{2})
[/mm]
Ist diese Funktion g eindeutig bestimmt?
Als Hinweis wurde auf den Fixpunktsatzt verwiesen. |
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Hallo,
ich bin ziemlich ratlos!
Was schonmal gut ist, ist das [mm] \IR^{2} [/mm] ein vollständiger metr. Raum ist (das brauche ich später um den Fixpunktsatz anwenden zu können).
f selbst muss i.A. aber nicht kontrahierend sein.
Wenn ich direkt nach x auflöse (x [mm] \not= [/mm] 0) komme ich auch nicht wirklich weiter...
Die Summe ist etwas verwirrend, da würde mir spontan Eulers Identität einfallen, aber dann bekomme ich komplexe Zahlen rein und hier handelt es sich um Abbildungen auf IR.
hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Mo 04.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen
|f(x, y)| < 1 für alle (x, y) [mm] \in [/mm] Q und der Stetigkeit von f (und der Kompaktheit von Q), ex. ein c [mm] \in [/mm] (0,1) mit
|f(x, y)| [mm] \le [/mm] c für alle (x, y) [mm] \in [/mm] Q .
Nun definiere den Operator T: C[0,1] [mm] \to [/mm] C[0,1] durch
$(Tg)(x) = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x, y) g(y) dy} -exp(x^{2}) [/mm] $
C[0,1] ist mit der Max.-Norm [mm] ||.||_{\infty} [/mm] vollständig. Zeige nun, dass T eine Kontraktion ist, also
[mm] $||Tg_1-Tg_2||_{\infty} \le c||g_1-g_2||_{\infty}$ [/mm] für [mm] g_1, g_2 \in [/mm] C[0,1]
Jetzt Banachscher Fixpunktsatz.
FRED
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