Fixpunktsatz Banach Erklärung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 So 10.02.2008 | | Autor: | upskuhr |
Hallo,
da unser Skript leider nur die Theorie behandelt suche ich einen guten Link, der den Fixpunktsatz von Banach erklärt und dabei insbesondere auch darauf eingeht wie man mit seiner Hilfe die Konvergenz von Folgen berechnen kann.
Habe leider trotz längerem googlen selbst nichts gefunden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 So 10.02.2008 | | Autor: | abakus |
In deinem Skript dürftest du eine Aussage der Form
[mm] |f(x_2)-f(x_1)|\le L*|x_2 -x_1)| [/mm] finden, wobei 0<L<1 gilt.
Wenn du das nach L umstellst, erhältst du auf der anderen Seite das Steigungsdreieck der Funktion f für zwei beliebige Argumente [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2.
[/mm]
Das bedeutet: zwischen zwei beliebigen Punkten der Funktionskurve ist der Betrag des Anstiegs kleiner als 1 (die Kurve ist also relativ flach.)
Weiter: Die Funktion bildet D auf D ab.
Nimm also an, die Funktion ist für ein Intervall [a;b] definiert. die Funktionswerte können dann auch nur im Intervall [a;b] liegen.
Skizziere dir das mal in einem Koordinatensystem. Der "erlaubte Bereich" besteht aus einem Quadrat, das durch x=a, x=b, y=a und y=b begrenzt wird. Dort drin verläuft irgendwo der Funktionsgraph. Der kann den erlaubten Wertebereich nicht einmal voll ausschöpfen, weil die Funktion ja sehr flach verläuft (Betrag des Anstiegs überall kleiner 1).
Die Ursprungsgerade y=x verläuft als Diagonale durch das genannte Quadrat und MUSS unter den beschriebenen Einschränkungen dort den Graphen von f(x) schneiden. Das ist der Fixpunkt der Funktion, denn im Schnittpunkt gilt f(x) = x.
Nun nimm dir mal irgendein [mm] x_0 [/mm] aus [a;b] als Startwert. Ermittle graphisch aus deinem skizzierten Funktionsgraphen (flach muss er sein!) den Wert [mm] f(x_0), [/mm] trage den als neuen x-Wert [mm] x_1 [/mm] auf der x-Achse ein, miss [mm] f(x_1), [/mm] trage das als [mm] x_2 [/mm] auf der x-Achse ein usw.
Die x-Werte dieser Folge dürften gegen den x-Wert des Fixpunkts konvergieren.
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http://www.oldenbourg-wissenschaftsverlag.de/fm/694/3-486-24914_p.pdf