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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 So 11.02.2007 | | Autor: | westpark |
Hallo Mathefreunde,
gegeben ist ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen, von denen die eine nicht Vielfaches der anderen ist.
Ich soll zeigen, dass dieses Gleichungssystem genau eine Lösung hat, dann wäre eine Möglichkeit doch die, die eine Gleichung nach der einen Unbestimmten, x etwa, die anderen nach der anderen, y etwa, umzuformen, so dass ich folgende Form habe:
x = [mm] f_{1}((x,y))
[/mm]
y = [mm] f_{2}((x,y)).
[/mm]
Und wenn ich zeige, dass [mm] f:=\vektor{f_{1} \\ f_{2}} [/mm] die Voraussetzung für den Banachschen Fixpunktsatz erfüllt, bin ich fertig, oder?
Und dazu gleich meine anderen Fragen:
Was genau muss ich zeigen?
1) f(D) [mm] \subseteq [/mm] D
2) D abgeschlossen? (oder doch vollständig?)
3) f ist kontrahierend, d.h., [mm] \parallel f(\vektor{x_{1} \\ y_{1}}) [/mm] - [mm] f(\vektor{x_{2} \\ y_{2}}) \parallel \le [/mm] L [mm] \parallel \vektor{x_{1} \\ y_{1}} [/mm] - [mm] \vektor{x_{2} \\ y_{2}} \parallel [/mm] für ein L [mm] \in [/mm] [0,1)
Ich habe in der Musterlösung zu einer Klausur gesehen, dass der letzte Punkt über die Jacobi-Matrix zu f gezeigt wurde.
Und dazu meine "Hauptfrage":
Was muss ich tun, nachdem ich die partiellen Ableitungen bestimme, damit die Jacobi-Matrix aufstelle?
Schauen, ob die Unendlichnorm dieser Matrix (also die maximale Zeilensumme der betragsmäßigen Einträge) kleiner 1 ist? (größer gleich null ist es dann sowieso, ist dann der Wert eventuell die Konstante L?)
Und nun ist es ja so, dass ich in der Jacobimatrix keine Werte, sondern Funktionen habe. Muss ich dann die möglichen Funktionswerte abschätzen?
Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
Mit Dank und freundlichen Grüßen
westpark.
[Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt]
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Hallo westpark,
> Ich soll zeigen, dass dieses Gleichungssystem genau eine
> Lösung hat,
Könnte man das nicht einfach über die Determinante der diesem System zugrundeliegenden [mm]2\times 2\texttt{-Matrix}[/mm] zeigen? Man zeigt also, daß [mm]\det A \ne 0[/mm].
> Und wenn ich zeige, dass [mm]f:=\vektor{f_{1} \\ f_{2}}[/mm] die
> Voraussetzung für den Banachschen Fixpunktsatz erfüllt, bin
> ich fertig, oder?
Ja, ich denke, das geht tatsächlich.
> Und dazu gleich meine anderen Fragen:
> Was genau muss ich zeigen?
> 1) f(D) [mm]\subseteq[/mm] D
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) D abgeschlossen? (oder doch vollständig?)
'abgeschlossen' muß nachgewiesen werden.
> Schauen, ob die Unendlichnorm dieser Matrix (also die
> maximale Zeilensumme der betragsmäßigen Einträge) kleiner 1
> ist? (größer gleich null ist es dann sowieso, ist dann der
> Wert eventuell die Konstante L?)
> Und nun ist es ja so, dass ich in der Jacobimatrix keine
> Werte, sondern Funktionen habe. Muss ich dann die möglichen
> Funktionswerte abschätzen?
Die Zeilensummennorm ist ja so definiert, daß du die maximale Zeilensumme nimmst. D.h. du betrachtest das Supremum einer jeden "Zeilensummenfunktion" würde ich sagen. (Jedenfalls habe ich das so gemacht).
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 So 11.02.2007 | | Autor: | westpark |
Wow!
Hallo Karl_Pech,
möchte mich hiermit für deine rasche (und auch kompetente) Hilfe bedanken.
Damit sollte der Aufgabentyp dann jetzt kein Problem mehr sein.
Merci also und freundliche Grüße...
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