Fixpunktsatz von Banach < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 06.02.2013 | | Autor: | love |
HAllo Leute könnt Ihr mir kurz helfen..Die Aufgabe lautet:
Die Funktion f : [−1, 1] sei gegeben durch
f(x) = 1/3 [mm] e^x-x-1/3.
[/mm]
a)zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt besitzt..
b)Geben Sie ein numerisches Verfahren zur Bestimmung des Fixpunktes an.
zu a) ich soll doch jetzt die erste Ableitung bestimmen diese lautet 1/3 [mm] e^x [/mm] -1 dann soll ich für x 1 einsetzten und abschtzen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> HAllo Leute könnt Ihr mir kurz helfen..Die Aufgabe
> lautet:
> Die Funktion f : [−1, 1] sei gegeben durch
> f(x) = 1/3 [mm]e^x-x-1/3.[/mm]
>
> a)zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt besitzt..
> b)Geben Sie ein numerisches Verfahren zur Bestimmung des
> Fixpunktes an.
>
> zu a) ich soll doch jetzt die erste Ableitung bestimmen
> diese lautet 1/3 [mm]e^x[/mm] -1 dann soll ich für x 1 einsetzten
> und abschtzen oder?
Warum?
Ein Fixpunkt bedeutet f(x) = x.
Den Fixpunkt für diese Funktion findest Du am besten durch probieren
bzw. genaues hinsehen.
Um zu zeigen, dass es der einzige ist, hilft dann die erste Ableitung.
Wenn die Funktion f im gesamten Intervall [-1;1] mehr steigt als die
Identität oder fällt, kann f nicht noch einmal g(x) = x schneiden.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | love |
Hallo erstmal danke für deine Antwort..
Die e-Funktion bringt mich hier durcheinander..
Kann es sein,dass mein Fixpunkt ist.
[mm] |f(x)|=1/3e^|x|-x-1/3=1/3e^0-0-1/3=1/3-1/3<= [/mm] 0
f1(x) 1/3 [mm] e^x-1=1/3e^o-1=-2/3<=0 [/mm]
Keine Ahnung,ob das jetzt hier richtig ist..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo erstmal danke für deine Antwort..
> Die e-Funktion bringt mich hier durcheinander..
Ja, die erschwert die Sache.
Sonst könnte man einfach berechnen, welche Lösungen
die Gleichung [mm] $\bruch{1}{3}*e^x-x-\bruch{1}{3} [/mm] = x$ hat.
> Kann es sein,dass mein Fixpunkt ist.
> [mm]|f(x)|=1/3e^|x|-x-1/3=1/3e^0-0-1/3=1/3-1/3<=[/mm] 0
Wozu die Betragsstriche?
$f(0) = [mm] \bruch{1}{3}*e^0-0-\bruch{1}{3} [/mm] = 0$
der Fixpunkt ist ok.
> f1(x) 1/3 [mm]e^x-1=1/3e^o-1=-2/3<=0[/mm]
ok, f'(0) = [mm] $-\bruch{2}{3}$
[/mm]
> Keine Ahnung,ob das jetzt hier richtig ist..
...aber gut wäre noch zu zeigen f'(x) < 0 für alle x [mm] $\in$ [/mm] [-1;1].
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 06.02.2013 | | Autor: | love |
cool :) dankeschönn
ich glaub jetzt muss ich noch zeigen
|f(x)-f(y)|<=|f1()||x-y| für alle x,y aus (-1,1)
|f(x)-f(y)|<=-2/3|x-y| für alle x,y (-1,1)
Meintest du das damit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 06.02.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> cool :) dankeschönn
> ich glaub jetzt muss ich noch zeigen
> |f(x)-f(y)|<=|f1()||x-y| für alle x,y aus (-1,1)
Zu zeigen ist:
Es gibt ein $ [mm] \lambda \in [/mm] [0;1)$ mit $|f(x) -f(y)| [mm] \le \lambda [/mm] |x-y|$ für alle x, y [mm] $\in$ [/mm] [-1;1]
und
$|f(x)| [mm] \le [/mm] 1$ für alle x [mm] $\in$ [/mm] [-1;1].
Dann ist f eine Kontraktion, - und der ![[]](/images/popup.gif) reelle Kontraktionssatz
kann auf f angewendet werden.
Daraus folgt dann auch, dass f genau einen Fixpunkt hat.
[mm] $\lambda$ [/mm] kann mit |f'(x)| abgeschätzt werden.
Das in den anderen Posts beschriebene Vorgehen, war direkt zu zeigen,
es gibt genau einen Fixpunkt.
> |f(x)-f(y)|<=-2/3|x-y| für alle x,y (-1,1)
> Meintest du das damit
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 06.02.2013 | | Autor: | love |
Danke schön für deine Mühe und Antworten :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:49 Do 07.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
Setze g(x)=f(x)-x. Zu zeigen ist also, dass g in [-1,1] genau eine Nullstelle hat.
Wegen g(0)=0 hat g in [-1,1] schon mal eine Nullstelle.
Nehmen wir an, g hätte in [-1,1] zwei verschiedene Nullstellen. Nach dem Satz von Rolle hätte dann g' in [-1,1] eine Nullstelle [mm] x_0.
[/mm]
Dann wäre aber [mm] $x_0=ln(6)$. [/mm] Kann das sein ?
FRED
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