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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Mo 06.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
Könnte mir bitte einer von euch das Fixpunktverfahren an einem Beispiel erklären?
Ich weiß nur einzelne Bruchstücke davon, z.B. das es eine "Fixpunktform" gibt, aber wenn ich versuche mit ihr zu rechnen kommem sinnlose bzw. falsche Ergebnisse raus. Warhscheinlich wende ich es einfach nur falsch an, ich weis es nicht. Ich forme Gleichungen immer nach dieser Form um, das ein "x" am ende steht, aber es ergibt nie Sinn. Kann es sein das man die Umkehrfunktion dafür verwenden muss? Denn wenn ich es damit versuche nährere ich mich dem richtigen Ergebnis immer an, was mich unsicher macht ist aber das ich nirgends etwas von der Umkehrfunktion lese, vllt verstehe ich auch einfach nicht die Worte die hier benutzt werden. ^^
Ich bin nämlich erst Kursstufe 1 und da hatten wir noch nicht so viel Stoff oder Definitionen.
Könntet ihr es mir vielleicht am Beispiel [mm] f(x)=(6-x^2)/5 [/mm] das Verfahren und diese Bedingungen erklären? Falls es euch nicht zu viel Stress ist :) Danke schonmal im Vorraus! Was ich bisher hier gelesen habe lässt mich wirklich hoffen!!! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo KaRi95,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Könnte mir bitte einer von euch das Fixpunktverfahren an
> einem Beispiel erklären?
> Ich weiß nur einzelne Bruchstücke davon, z.B. das es eine
> "Fixpunktform" gibt, aber wenn ich versuche mit ihr zu
> rechnen kommem sinnlose bzw. falsche Ergebnisse raus.
> Warhscheinlich wende ich es einfach nur falsch an, ich weis
> es nicht. Ich forme Gleichungen immer nach dieser Form um,
> das ein "x" am ende steht, aber es ergibt nie Sinn. Kann es
> sein das man die Umkehrfunktion dafür verwenden muss? Denn
> wenn ich es damit versuche nährere ich mich dem richtigen
> Ergebnis immer an, was mich unsicher macht ist aber das ich
> nirgends etwas von der Umkehrfunktion lese, vllt verstehe
> ich auch einfach nicht die Worte die hier benutzt werden.
> ^^
> Ich bin nämlich erst Kursstufe 1 und da hatten wir noch
> nicht so viel Stoff oder Definitionen.
> Könntet ihr es mir vielleicht am Beispiel [mm]f(x)=(6-x^2)/5[/mm]
> das Verfahren und diese Bedingungen erklären? Falls es
> euch nicht zu viel Stress ist :) Danke schonmal im Vorraus!
> Was ich bisher hier gelesen habe lässt mich wirklich
> hoffen!!! :)
>
Gesucht ist also ein Fixpunkt von f(x),
eine Lösung der Gleichung
[mm]x=f\left(x\right)[/mm]
Zunächst ist der Startpunkt [mm]x_{0}[/mm] so zu wählen, daß
[mm]\vmat{f'\left(x_{0}\right)} < 1 [/mm]
Dann konvergiert das obige Verfahren gegen den Fixpunkt.
Ist eine solche Wahl des Startpunktes nicht möglich,
so ist nach dem zweiten Glied von x, hier also [mm]x^{2}[/mm], aufzulösen.
Demnach: [mm]x=\bruch{6-x^{2}}{5} \Rightarrow x=\pm\wurzel{6-5x}[/mm]
Damit lautet die neue Iterationsfunktion [mm]\pm\wurzel{6-5x}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:06 Di 07.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
Okay danke genau so habe ich mir das vorgestellt! :) also muss man zuerst prüfen ob die Steigung am gewählten Startpunkt kleiner 1 ist (dann geht auch -10, oder?), wenn diese Bedingung erfüllt ist kann ich dann die gegebene Funktion direkt für das Verfahren verwenden? Aber wenn das nicht stimmt dann nach irgendeinem x in der Gleichung auflösen? Falls ich jetzt eine Polynomfunktion habe, z.B. [mm] f(x)=3x^3-5x^2-3x+8 [/mm] dann kann ich es einfach umstellen nach [mm] x=3x^3-5x^2-2x+8 [/mm] ? und dann einfach den x-Wert der bei der Rechnung herauskommen als neuen x-Wert benutzen, das habe ich schon richtig verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:40 Di 07.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es gilt folgender Satz :
Wenn 1. die x-Werte aus einem Intervall I zu y-Werten ( y=f(x) ) führen, die wieder in diesem
Intervall I liegen
und 2. es eine Zahl q < 1 gibt, so dass für alle x aus I gilt, dass |f'(x)| [mm] \le [/mm] q ist
( d.h. -q [mm] \le [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] q )
dann 1. hat die Funktion f genau einen Fixpunkt [mm] x_F [/mm] im Intervall I ( [mm] f(x_F) [/mm] = [mm] x_F [/mm] )
und 2. konvergiert das Iterationsverfahren ( [mm] x_0 [/mm] beliebig aus I , [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] f(x_n) [/mm] ) gegen [mm] x_F.
[/mm]
Zwei Bemerkungen dazu :
1. Häufig ist es leichter, einfach loszulegen und zu gucken, ob die Folge konvergiert als lange die Voraussetzungen zu prüfen.
2. Das Newton-Verfahren konvergiert im allgemeinen sicherer und schneller als diese Rekursion.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Di 07.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
Danke dafür! :) ich mache eine Mathe GFS über numerische Nullstellenbestimmung und muss das Newton Verfahren und das Fixpunktverfahren vorstellen, deswegen habe ich nicht wirklich die Wahl mir etwas auszusuchen. :D
Also wenn ich das richtig verstanden habe muss die Ableitung im gesamten Intervall kleiner eins sein?
Das ausprobieren hab ich wirklich sehr oft gemacht, aber bin nicht zu sinnvollen Ergebnissen gekommen, deswegen ist meine Frage, was kann ich machen wenn die Folge nicht konvergiert? Ich habe ein paar mal die Umkehrfunktion angewendet, dann hat die Folge zum Fixpunkt konvergiert, hat das Verfahren vielleicht etwas damit zutun? Ich muss dieses Verfahren verstanden haben und anwenden können, aber ich versuche es zu verstehen, es will mir aber irgendwie nicht klar werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 07.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke dafür! :) ich mache eine Mathe GFS über numerische
> Nullstellenbestimmung und muss das Newton Verfahren und das
> Fixpunktverfahren vorstellen, deswegen habe ich nicht
> wirklich die Wahl mir etwas auszusuchen. :D
> Also wenn ich das richtig verstanden habe muss die
> Ableitung im gesamten Intervall kleiner eins sein?
Nein. Sax hat es doch gesagt:
Es muss eine Zahl q<1 geben mit:
|f'(x)| [mm] \le [/mm] q für alle x [mm] \in [/mm] I.
> Das ausprobieren hab ich wirklich sehr oft gemacht, aber
> bin nicht zu sinnvollen Ergebnissen gekommen,
Zeig das mal her !
> deswegen ist
> meine Frage, was kann ich machen wenn die Folge nicht
> konvergiert?
Welche Folge ?
> Ich habe ein paar mal die Umkehrfunktion
> angewendet, dann hat die Folge zum Fixpunkt konvergiert,
> hat das Verfahren vielleicht etwas damit zutun?
Möglich. Zeig mal Deine Beispiele.
FRED
> Ich muss
> dieses Verfahren verstanden haben und anwenden können,
> aber ich versuche es zu verstehen, es will mir aber
> irgendwie nicht klar werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 08.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
> Nein. Sax hat es doch gesagt:
>
> Es muss eine Zahl q<1 geben mit:
>
> |f'(x)| [mm]\le[/mm] q für alle x [mm]\in[/mm] I.
>
Bedeutet das etwa nicht das die Ableitung in meinem gewählten Intervall zwischen -1 und 1 liegt?
> Zeig das mal her !
Ich habe hiermit z.B. Polynomfunktionen genommen wie [mm] f(x)=3x^3-5x^2-3x+8 [/mm] und nach einem beliebigem x umgeformt, einfachheit halber habe ich mir ein x ohne Hochzahl (also 1 als Exponent) genommen und daraus habe ich dann [mm] x=3x^3-5x^2-2x+8 [/mm] gewonnen, der eigentliche Fixpunkt liegt bei [mm] x_{F}=-1,21956 [/mm] aber wenn Werte in dieser Nähe in meine umgeformte Gleichung einsetze erhalte ich folgende Werte
[mm] x_{0}=-1
[/mm]
[mm] x_{1}=2
[/mm]
[mm] x_{2}=8
[/mm]
[mm] x_{3}=1208
[/mm]
und spätestens hier höre ich dann auf und meine Frage ist, was kann ich in diesem Fall tun damit ich den Fixpunkt doch errechnen kann?
>
> Welche Folge ?
>
z.B. bei der Parabel nehme ich [mm] f(x)=2x^2-2x-3 [/mm] und forme um nach x und erhalte [mm] u(x)=(\wurzel[2]{2x+7}+1)/2 [/mm] (ja ich weis, nur für ein bestimmtes Intervall aber ich nehm das hier nur als Beispiel) und die Folge ist hier dann:
[mm] x_{0}=-1
[/mm]
[mm] x_{1}=1,61
[/mm]
[mm] x_{2}=2,09
[/mm]
[mm] x_{3}=2,17
[/mm]
und hier konvergiert es dann gegen den Fixpunkt x_(F)=2,186
und dies sind eben auch die Folgen in denen es konvergiert, muss man das immer so lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 08.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil es deutlicher ist, zeige ich es dir an der Fkt
[mm] f(x)=0.2*x^2-2
[/mm]
der Fixpunkt ist an der Stelle f(x)=x, also wo sich die Gerade g(x)=x mit f(x) schneidet.
Was man mit dem Fixpunktverfahren für die 2 Fixpunkte tut sieht man in der Zeichnung.
man wählt ein x1 eingezeichnet auf y=x geht zu f(x1) dann davon auf die Gerade y=x und wieder zu f(x) usw.
Du siehst was für den negativen Fixpunkt, bei ca x=-1.5 passiert, das Verfahren geht gegen den Fixpunkt, der Betrag der Ableitung f'(x)=0.4*x ist für -2,5<x<0 kleiner als 1.
bei x>2,5 ist |f(x)|>1 das Verfahren läuft vom Fixpunkt weg, den Fixpunkt bei ca x=6.5 kann man so also nicht finden..
siehe Bild 1
[Dateianhang nicht öffentlich]
um den 2ten FP zu finden formt man [mm] 0.2x^2-2=x [/mm] um in
[mm] 0.2x^2=x+2; x^2=5x+10 x=\sqrt{5x+10}
[/mm]
und sucht den Fixpunkt von f(x)= [mm] \sqrt{5x+10} [/mm] und [mm] H8x)=-\sqrt{5x+10}
[/mm]
jetzt klappt es für den FP bei x=6.5.. denn [mm] f'(x)=\bruch{5}{2*\sqrt{5x+10}}
[/mm]
für x>0 ist [mm] |f'(x)|<5/2\sqrt{10}<1
[/mm]
dagegen scheitert es jetz für den Fixpkt [mm] x=-\sqrt{5x+10} [/mm] warun sollst du selbst sehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mi 08.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
Also muss ich immer schauen ob in meinem Intervall oder in meinem Startpunkt die Ableitung kleiner gleich 1 ist?
Und wenn das nicht der Fall ist immer nach einem x Glied umformen bis in der neuen Gleichung die Bedingung erfüllt ist? Muss für ein erfolgreiches durchführen des Verfahrens diese Bedinung also IMMER erfüllt sein?
Gruß KaRi95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 08.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du vergisst immer, dass es um den Betrag von f' geht.
wenn |f'|<1 im ganzen Intervall klappt es immer, wenn >1 kannst du mal Glück haben und mit einigen Schritten in ein Intervall kommen, wo das <1 gilt.
wenn du etwa meine Zeichnung mit der parabel rechts weiter machst, kommst du, obwohl du bei f'>1 angefangen hast schlißlich wohl zum linken Fixpunkt, aber nicht zum rechten.
Für einen Vortrag würde ich aber erstmal z.B. an hand von solchen Skizzen zeigen, warum man einen FP, bei dem |f'|>1 ist nie erreichen kann.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:11 Do 09.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
Okay danke ob es für den Betrag gilt oder nur [mm] \le [/mm] eins sein muss wäre meine nächste frage gewesen. :) wenn ich jetzt eine Funktion vierten Grades habe, z.B. [mm] f(x)=4x^3^4-2x^3+3x-4 [/mm] , und es jetzt nicht funktioniert, wie finde ich heraus nach welchem x ich umformen muss, gibt es da eine Regel oder so? Nach dem mit der höchsten Potenz oder so oder einfach ausprobieren? Ja ich erkläre das Verfahren eh zuerst zeichnerisch, da kann ich es ja und danach rechnerisch. ^^ :)
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> Okay danke ob es für den Betrag gilt oder nur [mm]\le[/mm] eins
> sein muss wäre meine nächste frage gewesen. :) wenn ich
> jetzt eine Funktion vierten Grades habe, z.B.
> [mm]f(x)=4x^3^4-2x^3+3x-4[/mm] , und es jetzt nicht funktioniert,
> wie finde ich heraus nach welchem x ich umformen muss, gibt
> es da eine Regel oder so? Nach dem mit der höchsten Potenz
> oder so oder einfach ausprobieren? Ja ich erkläre das
> Verfahren eh zuerst zeichnerisch, da kann ich es ja und
> danach rechnerisch. ^^ :)
Du musst nicht unbedingt nach einem "anderen x"
auflösen und dabei komplizierte Wurzelrechnungen
bemühen. Schau dir einfach mal meine
Antwort weiter unten an !
Überleg dir dann nur noch genau, wie du aus
einer "vorläufigen" Fixpunktfunktion g einen
passenden Wert für k ermitteln kannst, um
dann zu einer "guten" Fixpunktfunktion h
zu gelangen, für die die Fixpunktiteration
konvergiert.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:24 Fr 10.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo KaRi95,
> > Nein. Sax hat es doch gesagt:
> >
> > Es muss eine Zahl q<1 geben mit:
> >
> > |f'(x)| [mm]\le[/mm] q für alle x [mm]\in[/mm] I. (1)
>
> Bedeutet das etwa nicht das die Ableitung in meinem
> gewählten Intervall zwischen -1 und 1 liegt? (2)
Nein. Diese Forderungen sind nicht äquivalent !
(1) ist strenger als (2)
> Ich habe hiermit z.B. Polynomfunktionen genommen wie
> [mm]f(x)=3x^3-5x^2-3x+8[/mm] und nach einem beliebigem x umgeformt,
> einfachheit halber habe ich mir ein x ohne Hochzahl (also 1
> als Exponent) genommen und daraus habe ich dann
> [mm]x=3x^3-5x^2-2x+8[/mm] gewonnen, der eigentliche Fixpunkt liegt
> bei [mm]x_{F}=-1,21956[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") (***)
> aber wenn Werte in dieser Nähe in meine
> umgeformte Gleichung einsetze erhalte ich folgende Werte
>
> [mm]x_{0}=-1[/mm]
> [mm]x_{1}=2[/mm]
> [mm]x_{2}=8[/mm]
> [mm]x_{3}=1208[/mm]
>
> und spätestens hier höre ich dann auf und meine Frage
> ist, was kann ich in diesem Fall tun damit ich den Fixpunkt
> doch errechnen kann?
Zunächst etwas zu den Bezeichnungen:
Wenn ich dich richtig verstanden habe, bezeichnest du
jene Funktion mit f , für die eine Nullstelle berechnet
werden soll. Dann formst du die zu lösende Gleichung
f(x)=0 zu einer dazu äquivalenten Gleichung mit der
Form g(x)=x um.
(Andere haben es in diesem Thread dann so ver-
standen, dass ein Fixpunkt einer Funktion f(x) gesucht
werden soll, also eine Lösung der Gleichung f(x)=x ).
Lass dich also durch die unterschiedlichen Bezeichnungen
nicht verwirren. Oben bei (***) bist du dieser
Verwechslung schon selber erlegen. Die richtige
Lösung (Nullstelle von f und Fixpunkt von g)
liegt nicht bei -1.21956 , sondern bei [mm] x\approx{-1.163} [/mm] .
Ich halte mich an deine ursprüngliche Idee.
Du möchtest also die Gleichung f(x)=0 auf eine
Gleichung der Form g(x)=x bringen, so dass das
Iterationsverfahren dann mit einem geeignet
gewählten Startwert [mm] x_0 [/mm] gegen eine bestimmte
gesuchte Lösung konvergiert. (Hinreichende)
Bedingung dafür ist dann, dass es ein Intervall I
gibt, welches den Startwert und die angezielte
Nullstelle von f enthält und für welches es eine
Zahl q mit |q|<1 gibt mit [mm] |g'(x)|\le{q} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] I .
Nun kann es eben leicht passieren, dass eine zunächst
gefundene Funktion g zwar den gesuchten Fixpunkt
besitzt, aber eben die Bedingung für die Beträge
der Ableitung g' nicht erfüllt. Für diesen Fall gibt es
zum Beispiel folgende Lösung:
Man nehme anstelle der Gleichung g(x)=x eine neue
Gleichung mit einer neuen Funktion h, für welche
h(x)=x äquivalent ist zu g(x)=x . So eine Funktion h
kann man so konstruieren:
Die Gleichung
$\ g(x)\ =\ x$
ist äquivalent zu
$\ g(x)-k*x\ =\ x-k*x\ =\ (1-k)*x$
und zu
$\ [mm] \frac{g(x)-k*x}{1-k}\ [/mm] =\ x$
für jede beliebige Zahl k mit [mm] k\not={1} [/mm] .
Nun stellt sich nur noch die Frage, wie man ein
geeignetes k findet, mit welchem die damit neu
gebastelte Funktion h mit
$\ h(x)\ =\ [mm] \frac{g(x)-k*x}{1-k}$
[/mm]
die Zusatzbedingung $\ |h'(x)|\ [mm] \le\ [/mm] {q} <\ 1$
in einem passenden Intervall I erfüllt. Dies ist
aber nicht schwierig, wenn man den Wert der
Ableitung g'(x) in der Nähe der gesuchten Lösung
wenigstens grob abschätzen kann.
Für dein obiges Beispiel mit der Funktion
[mm]f(x)=3x^3-5x^2-3x+8[/mm]
und der vorläufigen (Fixpunkt-) Funktion
[mm]g(x)=3x^3-5x^2-2x+8[/mm]
könnte man beispielsweise k=20 wählen und
kommt so zu
[mm]h(x)=\frac{3x^3-5x^2-22x+8}{-19}[/mm]
Mit dieser neu konstruierten Fixpunktfunktion
konvergiert die Iteration [mm] x_{n+1}:=h(x_n)
[/mm]
wenigstens für $\ [mm] x_0\,\in\, [\,-1.5, -0.5\,]$
[/mm]
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Do 09.01.2014 | | Autor: | KaRi95 |
Vielen dank, das hat mir jetzt eine grobe Orientierung und nützliche Hilfe gegeben, ich muss das dann wohl noch ein bisschen üben :)
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