Fkt. 3. Grads + Gerade < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | K f(x) = [mm] x^3+3x^2-4x-12
[/mm]
G f(x) = x+3 |
Hallo
Die Funktion und die Gerade schneiden sich. Mit dem Horner Schema bekomme ich einen Schnittpunkt da dieser bei (0/-3) liegt. Aber wie gehe ich weiter? Wenn man dann die Nullstelle ausklammert bekomme ich die "neue" Funktion
f(x) = [mm] (x^2-5)*(x+3)
[/mm]
Stimmt das überhaupt? Rätzel schon Stunden aber im Internet kann ich auch keine Lösung finden! Ich brauch ja noch die anderen Schnittpunkte. Auf dem GTR sind 3 Schnittpunkte zu erkennen aber ich glaub es gibt noch nen 4 weil die Funktion mit der Geraden nach unten links verläuft.
Danke für eure Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
alle Punkte, für die ein Punkt auf der Geraden auch ein Punkt auf der Kurve ist, sind Schnittpunkte zwischen der Geraden und der Kurve. Man erhält sie, indem man beide Funktionen gleichsetzt. Wenn Du dies machst, siehst du, dass das dabei entstehende Polynom immer noch vom Grad 3 ist. Mehr als 3 Schnittpunkte gibt es demzufolge nicht.
Was Du mit Deinem Punkt (0/-3) willst, ist mir unklar, dies ist sicher kein Schnittpunkt zwischen Gerade und Polynom, wie Du durch Einsetzen von x = 0 in beide Gleichungen leicht feststellen kannst.
Viele Grüße,
Infinit
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Aber wenn ich mir diesen Graphen im Taschenrechner ansehe erkenne ich einen Schnittpunkt von Funktion und Gerade bei (0/-3).
Ich wollte auch Gleuichsetzten machen nur da komme ich nicht weiter wegen dem hoch 3
[mm] x^3+3x^2-5x-15 [/mm] = 0
Wie geh ich weiter vor.
Danke für deine Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aber wenn ich mir diesen Graphen im Taschenrechner ansehe
> erkenne ich einen Schnittpunkt von Funktion und Gerade bei
> (0/-3).
Dann hast du eine der Gleichungen falsch eingegeben.
Oder du hast den Punkt falsch abgelesen P(-3/0) liegt auf beiden Funktionen.
>
> Ich wollte auch Gleuichsetzten machen nur da komme ich
> nicht weiter wegen dem hoch 3
>
> [mm]x^3+3x^2-5x-15[/mm] = 0
>
> Wie geh ich weiter vor.
Mache eine Polynomdivision
[mm] (x^3+3x^2-5x-15):(x+3)
[/mm]
Die Nullstellen des Restterms kannst du dann über eine quadratische Funktion ermitteln.
>
> Danke für deine Hilfe!
Marius
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Ich habe noch nie eine Polynomdivision gemacht. Gibt es nicht noch eine andere Lösung wie man vorgehen könnte? Und ja ich hab den Punkt falsch abgelesen xD (-3/0)
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ich habe noch nie eine Polynomdivision gemacht. Gibt es
> nicht noch eine andere Lösung wie man vorgehen könnte?
Für Funktionen dritten Grades nicht.
Die Polynomdivision findest du ![[]](/images/popup.gif) hier erklärt.
> Und ja ich hab den Punkt falsch abgelesen xD (-3/0)
>
> Danke :)
Sowas passiert halt.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Auch wenn die Polynomdivision die häufigste Art und Weise einer Lösung ist, so gibt es doch noch die Möglichkeit eines Koeffizientenvergleichs. Ich bin sicher, dass dies auch Marius weiß.
Eine Nullstelle hast Du gefunden, das Restpolynom muss demzufolge vom zweiten Grad rein.
Für den Ansatz mit der -3 als eine Lösung bekommst Du durch Gleichsetzen mit einer beliebigen Funktion zweiten Grades und unter Berücksichtigung der bereits gefundenen Nullstelle die Gleichung
[mm] x^3 + 3 x^2 - 5x - 15 = (x+3)(ax^2+bx+c) [/mm]
Nun multiplizierst Du die rechte Seite aus und vergleichst die hierbei entstehenden Ausdrücke, nach Potenzen sortiert, mit den dazupassenden Koeffizienten auf der linken Seite. So bekommst Du a, b und c und damit dann eine quadratische Gleichung, die Du nach bekannter Formel lösen kannst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Auch wenn die Polynomdivision die häufigste Art und Weise
> einer Lösung ist, so gibt es doch noch die Möglichkeit
> eines Koeffizientenvergleichs. Ich bin sicher, dass dies
> auch Marius weiß.
Da hast du recht 
Aber das ist meiner Meinung nach auch nicht schöner.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist eine reine Gewöhnungssache, aber viele Leute haben eine gewisse Scheu vor einer Polynomdivision, wohingegen sie ohne Probleme Multiplikationen durchführen.
Warten wir mal ab, wie es in diesem Falle weitergeht.
Einen schönen Sonntag noch,
Infinit
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Oh... für mich ist das schwer! Soetwas einem selbst beizubringen. Und es ist sicher nicht diese Lösung weil wir soetwas zuvor noch nie gerechnet haben. Es muss sicher anders gehen. Ich verstehe die Polynomdivision in meinem Beispiel nicht weil ich im zweiten Schritt auf [mm] 0x^2 [/mm] komme und nicht weiß ob ich jetzt zwei Zahlen von oben runter hollen soll.
Ahh xD Aber danke! Lernt man gleich neue Dinge!
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Oh... für mich ist das schwer! Soetwas einem selbst beizubringen. Und es ist sicher nicht diese Lösung weil wir soetwas zuvor noch nie gerechnet haben. Es muss sicher anders gehen. Ich verstehe die Polynomdivision in meinem Beispiel nicht weil ich im zweiten Schritt auf [mm] 0x^2 [/mm] komme und nicht weiß ob ich jetzt zwei Zahlen von oben runter hollen soll.
Ahh xD Aber danke! Lernt man gleich neue Dinge!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Ja, hole dann zwei Zahlen runter und Du wirst feststellen, der Bruch geht auf.
Wie heisst demzufolge der quadratische Term, der noch übrigbleibt?
VG,
Infinit
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ich weiß nich wie ich weiterrechnen soll. Das mit dem zwei hollen fällt mir schwer. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Du bist schon auf dem richtigen Weg. Du holst die -5x - 15 runter und teilst durch x, das ergibt den Term - 5, den nimmst Du jetzt wieder mit (x+3) mal und bekommst zum Abziehen den Term -5x - 15. Das ist aber genau der runtergeholte Term, die Polynomdivision geht also auf und liefert Dir [mm] x^2 - 5 [/mm]. Das schreit geradezu nach der dritten binomischen Formel.
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | | http://img690.imageshack.us/img690/3612/unbenanntwqz.png |
Bei mir schriet gar nichts. :P Ich dneke das Problem ist bei mir gerade das ich mit den zwei Zahlen durcheinander komme und hier gerade eine rießen Rechnung vor mir liegen habe die kein Ende nimmt.
Oben wie weit ich bin. Eigentlich ist es nicht so schwer aber wenn dann sowas kommt.. ;)
Aber danke für eure viele Hilfe! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
was Du da gerechnet hast, entspricht ja auch nicht der Aufgabe.
Schnittpunkte sind all die Punkte, für die gilt:
[mm] x^3+ 3 x^2 - 4x - 12 = x + 3 [/mm] oder umgestellt:
[mm] x^3 + 3 x^2 - 5x - 15 = 0 [/mm]
Eine Nullstelle dieser Gleichung haben wir bereits gefunden, es ist die -3.
Die Polynomdivision lautet also
[mm] (x^3 + 3 x^2 - 5x - 15) : (x+3) = ? [/mm]
So, jetzt bist du wieder dran.
Viele Grüße,
Infinit
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Ich rechne mit der -5x weiter?
http://img155.imageshack.us/img155/8454/unbenanntvoj.png
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Ja, Du teilst die durch x und erhältst die -5 als Ergebnis. Mit dieser - 5 multiplizierst Du wieder Deinen Nenner und zeihst das, was dabei rauskommt von Ausdruck (-5x - 15) ab. Das geht wunderbar auf.
VG,
Infinit
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Oh och blödel xD Danke! Das Teilen hab ich vergessen darum ging nicht! Aber jetzt kann ich Polynomdivisionen ;) Zum teil :D Danke! Jetzt nur noch in die PQ- Formel setzten.
x1 = -0,5 + 0,5 = 0
x2 = -0,5 - 0,5 = 1
Dann in [mm] x^2-5 [/mm] einsetzen
(o/-5)
und
(1/-4)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Ja, eine Methode ist
[mm] x^2 - 5 [/mm] mit der p-q-Formel zu bearbeiten, die andere ist die bereits erwähnte dritte binomische Formel. Welche Nullstellen bekommst Du wohl, wenn Du weißt (und ich hoffe, Du weißt es):
[mm] (x-a)(x+a) = x^2 - a^2 [/mm]
VG,
Infinit
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Weiß es nicht.. Aber die Antworten von der Pq Formel sind glaub auch falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Weiß es nicht.. Aber die Antworten von der Pq Formel sind
> glaub auch falsch.
Du hast:
$ [mm] x^2-5=0 [/mm] $
Die elegante Methode ist die 3. Binomische Formel "rückwärts".
$ [mm] x^2-5=0 [/mm] $
[mm] \Leftrightarrow\underbrace{(x-\sqrt{5})}_{\text{Null für}x=\sqrt{5}}\underbrace{(x+\sqrt{5})}_{\text{Null für}x=-\sqrt{5}}=0
[/mm]
Alternativ:
$ [mm] x^2-5=0 [/mm] $
[mm] \Leftrightarrow x^{2}=5
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{5}
[/mm]
Und die Brachialmethode, per p-q-Formel:
$ [mm] x^2-5=0 [/mm] $
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{\frac{0}{4}-(-5)}=\pm\sqrt{5}
[/mm]
Marius
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Also sind die Schnittpunkte
(0/-3)
[mm] (0/\wurzel{5})
[/mm]
[mm] (0/-\wurzel{5})
[/mm]
Nullstellen? Bin durcheinander
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Also sind die Schnittpunkte
>
> (0/-3)
> [mm](0/\wurzel{5})[/mm]
> [mm](0/-\wurzel{5})[/mm]
>
> Nullstellen? Bin durcheinander
Andersherum. die x-Koordinate kommt zuerst, also hast du Nullstellen bei x=3, [mm] x=\sqrt{5} [/mm] und [mm] x=-\sqrt{5} [/mm] bzw die x-Achsenschnittpunkte
[mm] (3/0);(\sqrt{5}/0);( -\sqrt{5}/0)
[/mm]
Marius
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Ich verstehe nicht wie die Schnittpunkte von einer Geraden und einer Funktion dritten Grades Nullstellen sein können. Weil im Rechner sehe ich das sie sich bei ca. (2/4) schneiden.
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 25.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ich verstehe nicht wie die Schnittpunkte von einer Geraden
> und einer Funktion dritten Grades Nullstellen sein können.
> Weil im Rechner sehe ich das sie sich bei ca. (2/4)
> schneiden.
>
> Danke :)
Oh, sorry, mein Fehler, die Gleichung kam in der Tat von den Schnittstellen.
Und [mm] \sqrt{5}\approx2
[/mm]
Also hast du mit x=-3, $ [mm] x=\sqrt{5} [/mm] $ und $ [mm] x=-\sqrt{5} [/mm] $ die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Funktionen.
Die y-Koordinaten bekommst du dann durch Einsetzen in die Funktionen, einfacher ist da die Gerade.
Also:
x=-3 in die Gerade eingesetzt ergibt y=-3+3=0, also hast du einen Schnittpunkt bei [mm] S_{1}(-3/0)
[/mm]
[mm] x=\sqrt{5} [/mm] in die Gerade eingesetzt ergibt [mm] y=\sqrt{5}+3\approx5,23, [/mm] also hast du einen Schnittpunkt bei [mm] S_{2}(\sqrt{5};\sqrt{5}+3)
[/mm]
[mm] x=-\sqrt{5} [/mm] in die Gerade eingesetzt ergibt [mm] y=-\sqrt{5}+3\approx-0,76, [/mm] also hast du einen Schnittpunkt bei [mm] S_{3}(\sqrt{3};3-\sqrt{5})
[/mm]
Marius
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Danke an alle für die Hilfe! Es war schwer aber irgendwie hab ich es jetzt doch geschafft und gleichzeitig hab ich noch etwas neues gelernt! :) Danke
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Das müsste es eigentlich sein aber ich habe damit keine Lösung bekommen! Da kam bei mir nichts raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 25.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Das kann nicht sein, aber mache erst mal mit der Polynomdivision weiter.
Gruß,
Infinit
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