Fkt. Monotonie, Umkehrfkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f: [-1,1] --> [mm] \IR [/mm] und x-> f(x):= x / (1+ [mm] x^{2}) [/mm] .
a) Weisen Sie nach, dass f streng monoton wachsend ist.
b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f. |
Ich habe diese aufgabe zu lösen und habe mir dazu auch schon Ansätze, allerdings sind noch ein paar kleine Fragen offen und ich hoffe, dass mir da nochmal jemand helfen kann ;)
Also erstmal zur a) :
Ich habe f abgeleitet und erhalte:
f'(x) = (1 - [mm] x^{2}) [/mm] / (1+ [mm] x^{2})^{2}
[/mm]
So, damit f streng monoton wachsend ist, müsste ja nun diese Ableitung für alle x größer als 0 sein, aber wenn ich nun für x 1 oder -1 einsetze, komme ich ja auf =0 und nicht >0. Ist das ganze damit dann trotzdem streng monoton wachsend (und wenn ja warum?) oder habe ich da einen Denkfehler drin?
Dann zur Aufgabe b):
Also ich habe f(x)=y nach x aufgelöst:
y = x/ (1+ [mm] x^{2}) [/mm]
y + y * [mm] x^{2} [/mm] = x
y * [mm] x^{2} [/mm] -x + y = 0
[mm] x^{2} [/mm] - 1/y * x + 1 = 0
und dann erhalte ich:
x1/2 = 1/(2y) +/- [mm] \wurzel{1/(4 y^{2}) - 1}
[/mm]
nun habe ich aber ja hier 2 lösungen für x, und ich habe jede einzelne zurück nach y aufgelöst und erhalte wieder f(x), kann also auf diesem weg keine Lösung ausschließen.
Welche der beiden Umkehrfunktionen ist denn die richtige, bzw. wie ermittle ich das?
Und dann wurde uns in der Übung noch einiges zu dieser Aufgabe gesagt, und dabei hatte unser Übungsleiter etwas von einer Fallunterschiedung gesagt:
1.Fall: x=0
2. Fall: 0< |x| [mm] \le [/mm] 1
Aber ich weiß nicht, wo ich in dieser Aufgabe die Fallunterschiedung brauche? oder hat das damit etwas zu tun, welche umkehrfunktion richtig ist?
Vielen Dank im Voraus, die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Sa 19.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hallo du,
bin schon fertig damit und hoffe ich kann dir deine Fragen beantworten. Dann mal los:
> Ich habe f abgeleitet und erhalte:
>
> f'(x) = (1 - [mm]x^{2})[/mm] / (1+ [mm]x^{2})^{2}[/mm]
>
> So, damit f streng monoton wachsend ist, müsste ja nun
> diese Ableitung für alle x größer als 0 sein, aber wenn ich
> nun für x 1 oder -1 einsetze, komme ich ja auf =0 und nicht
> >0. Ist das ganze damit dann trotzdem streng monoton
> wachsend (und wenn ja warum?) oder habe ich da einen
> Denkfehler drin?
Die Ableitung ist richtig und es ist auch soweit ok, dass bei x=1 bzw. x=-1 0 rauskommt, weil du bei x=-1 ein Minimum [mm] (y=-\bruch{1}{2}) [/mm] und bei x=1 ein Maximum hast. Weil die Funktion keine Definitionslücken und keine weiteren Extrema hat, ist sie zwischen dem Minimum und dem Maximum streng monoton wachsend. Kannst ja wenn du willst x=1 und x=-1 mit der Begründung aus dem Definitionsbereich rausnehmen, dann ist sie auf jeden Fall streng monoton wachsend.
> Dann zur Aufgabe b):
>
> Also ich habe f(x)=y nach x aufgelöst:
>
> y = x/ (1+ [mm]x^{2})[/mm]
>
> y + y * [mm]x^{2}[/mm] = x
>
> y * [mm]x^{2}[/mm] -x + y = 0
>
> [mm]x^{2}[/mm] - 1/y * x + 1 = 0
>
> und dann erhalte ich:
>
> x1/2 = 1/(2y) +/- [mm]\wurzel{1/(4 y^{2}) - 1}[/mm]
>
> nun habe ich aber ja hier 2 lösungen für x, und ich habe
> jede einzelne zurück nach y aufgelöst und erhalte wieder
> f(x), kann also auf diesem weg keine Lösung ausschließen.
> Welche der beiden Umkehrfunktionen ist denn die richtige,
> bzw. wie ermittle ich das?
Die richtige ist die mit dem Minus, weil:
1. jetzt g: [mm] [-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]-->[-1,1] [/mm] und wenn du mal
bei deiner Umkehrfunktion mit dem Plus [mm] x=-\bruch{1}{4} [/mm] einsetzt,
dann kommst du auf y=3, was nicht mehr im Wertebereich ist.
Also fällt die Gleichung mit dem Plus weg. (Definitions- und
Wertebereich von g bekommst du, indem du einfach die beiden von f
vertauscht.
2. Es gibt immer nur genau eine Umkehrfunktion (ist eindeutig
bestimmt) und für die muss gelten: g[f(x)]=x und f[g(y)]=y
Das klappt auch nur für die Gleichung mit dem Minus.
Ich hoffe das reicht dir erstmal als Begründung
> Und dann wurde uns in der Übung noch einiges zu dieser
> Aufgabe gesagt, und dabei hatte unser Übungsleiter etwas
> von einer Fallunterschiedung gesagt:
>
> 1.Fall: x=0
> 2. Fall: 0< |x| [mm]\le[/mm] 1
>
> Aber ich weiß nicht, wo ich in dieser Aufgabe die
> Fallunterschiedung brauche? oder hat das damit etwas zu
> tun, welche umkehrfunktion richtig ist?
Du brauchst die Fallunterscheidung, weil siech für x=0 automatisch y=0 ergibt und du in der Umkehrfunktion durch y teilst, also musst du für dein g extra definieren was denn nun ist, wenn x=0 ist.
Lg Anne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 19.01.2008 | | Autor: | die_conny |
Okay danke für die antwort, ja beantwortet mir meine fragen ;)
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also ich habe jetzt doch noch eine frage zu dieser aufgabe:
bei mir komme ich darauf, dass die lösung mit dem plus korrekt ist, nicht die mit dem minus? wer hat denn da jetzt den denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 20.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also ich habe jetzt doch noch eine frage zu dieser
> aufgabe:
>
> bei mir komme ich darauf, dass die lösung mit dem plus
> korrekt ist, nicht die mit dem minus? wer hat denn da jetzt
> den denkfehler?
Das Minus ist korrekt. Nim dir ein einfaches Beispiel, sagen wir [mm]x=\bruch{1}{4}[/mm]. Dann ist [mm]f(x)=\bruch{4}{17}[/mm]. Setze diese Zahl für y ein und rechne nach, für welches Vorzeichen wieder [mm]\bruch{1}{4}[/mm] herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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aber wenn ich für x= -1/4 einsetze, dann erhalte ich für die gleichung mit dem minus einen falschen wert und für diem it dem plus einen korrekten...
y = -0,25 --> x = 2 + [mm] \wurzel{3}
[/mm]
und eben nicht [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
kann es viell. sein, dass für alle y < 0 die gleichung mit dem + korrekt ist (da 1 /2y hier immer kleiner oder gleich -1 und daher etwas addiert werden muss um nicht aus dem def.bereich zu führen) und für alle y> 0 stimt die gleichung mit dem minus?
wenn ich das so begründe, müsste ich denn dann trotzdem noch extra nachweisen, dass [mm] f^{-1}(f(x))=x [/mm] und [mm] f(f^{-1}(y))=y [/mm] oder kann ich das dann weglassen? denn für minus find ich das blöd auszurechnen und es ist so viel schreibarbeit...
vilen dank im voraus, die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 21.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber wenn ich für x= -1/4 einsetze, dann erhalte ich für
> die gleichung mit dem minus einen falschen wert und für
> diem it dem plus einen korrekten...
>
> y = -0,25 --> x = 2 + [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> und eben nicht [mm]-\wurzel{3}[/mm]
>
> kann es viell. sein, dass für alle y < 0 die gleichung mit
> dem + korrekt ist (da 1 /2y hier immer kleiner oder
> gleich -1 und daher etwas addiert werden muss um nicht aus
> dem def.bereich zu führen) und für alle y> 0 stimt die
> gleichung mit dem minus?
Ja, du hast völlig recht.
> wenn ich das so begründe, müsste ich denn dann trotzdem
> noch extra nachweisen, dass [mm]f^{-1}(f(x))=x[/mm] und
> [mm]f(f^{-1}(y))=y[/mm] oder kann ich das dann weglassen? denn für
> minus find ich das blöd auszurechnen und es ist so viel
> schreibarbeit...
Das Problem bei dieser Funktion ist dies: das eine Vorzeichen gilt für x zwischen -1 und 1, das jeweils andere für x außerhalb dieses Bereiches.
Folgender Trick funktioniert: die Wurzel muss ja da umgekehrte Vorzeichen wie das y haben. Also schreibe:
[mm]x_{1/2} = \bruch{1}{2y} \pm \wurzel{\bruch{1}{4y^2}-1} = \bruch{1}{2y} \pm \wurzel{\bruch{1-4y^2}{4y^2}} = \bruch{1}{2y} \pm \bruch{1}{2y}\wurzel{1-4y^2} = \bruch{1}{2y} \left( 1\pm \wurzel{1-4y^2}\right) = - \bruch{1}{2y} \left(\mp\wurzel{1-4y^2}-1\right)[/mm].
Jetzt kannst du beide Male das Pluszeichen nehmen.
Viele Grüße
Rainer
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