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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:13 So 08.05.2011 | | Autor: | vivi |
Hallo allesamt,
ich beschäftige mich gerade mit Funktionen beschränkter Variation.
Zuallererst habe ich eine Frage: Wenn eine reelle Funktion auf [a,b] von beschränkter Variation ist, dann ist sie doch sicherlich auch beschränkt, oder? Das heißt, sie nimmt ihr Infimum und ihr Supremum an irgendeiner Stelle an, oder?
Desweiteren frage ich mich, wie man zeigt, dass für
- f(x), g(x) Fkten mit beschränkter Variation
- g(x) [mm] \ge [/mm] sigma(x) > 0
gilt, dass der Quotient f(x)/g(x) ebenfalls von beschränkter Variation is.
Ansatz:
Sei q := f(x)/g(x)
M = sup(|f(x)|), N = inf(|g(x)|)
| [mm] q(x_{k+1}) [/mm] - [mm] q(x_{k}) [/mm] | = | [mm] \bruch{f(x_{k+1})}{g(x_{k+1})} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{k})}{g(x_{k})} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{f(x_{k+1})}{g(x_{k+1})} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{k})}{g(x_{k+1})} [/mm] | + | [mm] \bruch{f(x_{k})}{g(x_{k+1})} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{k})}{g(x_{k})} [/mm] |
= | [mm] \bruch{1}{g(x_{k+1})} [/mm] | * | [mm] f(x_{k+1}) [/mm] - [mm] f(x_{k}) [/mm] | + | [mm] f(x_{k}) [/mm] | * | [mm] \bruch{g(x_{k})-g(x_{k+1})}{g(x_{k+1})*g(x_{k})} [/mm] |
Dann hätte ich | [mm] \bruch{1}{g(x_{k+1})} [/mm] | durch [mm] \bruch{1}{N} [/mm] abgeschätzt und den zweiten Term durch [mm] \bruch{M}{N^2}. [/mm] D.h. für die Totalvariation V würde gelten:
N * V(f) + [mm] \bruch{M}{N^2} [/mm] * V(g) < [mm] \infty
[/mm]
Könnt ihr vielleicht den Beweis auf Korrektheit überprüfen und mir ein wenig helfen, falls er nicht stimmt? Ich habe nämlich keine Ahnung wie ich es sonst beweisen soll...
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus und mfG,
Vivi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 08.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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