Fktwert einer Ableitung.... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | geg: f'(x)= [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] und f(1)=0 ; x>0
Berechne f(0,75). |
Wie mach ich das am besten. Ich hätt an die Taylorformel gedacht, aber stimmt das und wie kann ich dann gucken, ob mein Ergebniss in etwa stimmt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> geg: f'(x)= [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] und f(1)=0 ; x>0
> Berechne f(0,75).
> Wie mach ich das am besten. Ich hätt an die Taylorformel
> gedacht, aber stimmt das und wie kann ich dann gucken, ob
> mein Ergebniss in etwa stimmt?
Mit der Taylorformel kannst du nicht viel machen. Es sei denn du willst den Wert nur so gaanz grob und ungefaehr wissen.
Wenn du es (relativ) genau haben willst, dann musst du den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung bemuehen. Der besagt naemlich: [mm] $\int_{3/4}^1 [/mm] f'(x) [mm] \; [/mm] dx = f(1) - f(3/4)$.
Das Problem ist jedoch, dass du keine explizite Stammfunktion fuer [mm] $\frac{\sin x}{x}$ [/mm] angeben kannst. Numerisch kann man das aber schon berechnen, z.B. MAPLE kann das...
LG Felix
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Wie ginge das in Maple? Ich kenne mich leider noch gar nicht aus und bis jetzt haben wir es noch nicht verwendet, möcht nur sehen, ob mein Wert stimmt.
Da wir aber gerade die TaylorFormel hatten nehme ich an, diese verwenden zu müssen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie ginge das in Maple? Ich kenne mich leider noch gar
> nicht aus und bis jetzt haben wir es noch nicht verwendet,
> möcht nur sehen, ob mein Wert stimmt.
Also [mm] $\int_{3/4}^1 \frac{\sin x}{x} \; [/mm] dx$ berechnest du in MAPLE numerisch durch evalf(int(sin(x) / x, x=3/4..1));
> Da wir aber gerade die TaylorFormel hatten nehme ich an,
> diese verwenden zu müssen...
Dann benutz sie doch. Du musst ja hauptsaechlich die Werte der $n$-ten Ableitungen im Punkt [mm] $x_0 [/mm] = 1$ bestimmen, und das kannst du da du den Wert der nullten Ableitung gegeben hast und ebenso die erste Ableitungsfunktion.
Und eine Fehlerabschaetzung machst du mit dem Restglied.
Wenn du nicht weisst was du tun sollst, dann schreib doch mal einfach $f(3/4)$ mit Hilfe der Taylorformel (fuer Grad $n$ und Entwicklungspunkt [mm] $x_0 [/mm] = 1$) hier hin, inkl. Restglied. Und setze schonmal so viel wie moeglich ein.
LG Felix
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Also ich hab für die Ableitungen:
[mm] f"(x)=\bruch{x*cosx-sinx}{x^2}
[/mm]
[mm] f"'(x)=\bruch{2sinx-2x*cosx-x^2sinx}{x^3}
[/mm]
f(0,75) [mm] \approx [/mm] 0+ [mm] 0,174524*(-\bruch{1}{4})+\bruch{f"(1)}{2}*\bruch{1}{16}+R_{n}
[/mm]
Frage ist jetzt, wie komm ich auf [mm] R_{n} [/mm] und muss ich beim Rechnen mit sin und cos RADIAN oder DEGREE einstellen?
Den Wert, den mir Maple gibt, wäre 0,2191
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also ich hab für die Ableitungen:
>
> [mm]f"(x)=\bruch{x*cosx-sinx}{x^2}[/mm]
> [mm]f"'(x)=\bruch{2sinx-2x*cosx-x^2sinx}{x^3}[/mm]
>
> f(0,75) [mm]\approx[/mm] 0+
> [mm]0,174524*(-\bruch{1}{4})+\bruch{f"(1)}{2}*\bruch{1}{16}+R_{n}[/mm]
>
> Frage ist jetzt, wie komm ich auf [mm]R_{n}[/mm]
Nimm das Lagrange-Restglied und schaetze es ab. Schreib es dochmal hier hin wenn du nicht weisst wie du es abschaetzen sollst.
> und muss ich beim
> Rechnen mit sin und cos RADIAN oder DEGREE einstellen?
Natuerlich RAD. Ansonsten duerftest du nicht so mit [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$ [/mm] ableiten.
LG Felix
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Danke nochmals für deine schnelle und stete Hilfe, ich merk gerad mir fehlen zwischendurch schon so manche Elementarkenntnisse, denn wie meinst du dass mit "Ansonsten duerftest du nicht so mit [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] ableiten"?
Und von dieser Abschätzung des Lagrange-Restglied hab ich irgendwie auch noch nie was gehört. Hab auch in meine Vorlesungsunterlagen+Skript geguckt und nix brauchbares gefunden... :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mi 10.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
f(x)=sinx, x aus [mm] \IR [/mm] muss x ne reelle Zahl sein. also Bogenmass. Nur in Dreiecksberechnungen benutzt man auch das ° Maß. für Funktionen macht das keinen Sinn.
Für Restglieder geh in Wikipedia, Taylorreihe.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Von einer für x > 0 definierten, hinreichend oft differenzierbaren
Funktion f(x) sind die erste Ableitung f′(x) = [mm] \bruch{sin x}{x} [/mm] und der
Funktionswert f(1) = 0 gegeben. Berechnen Sie einen Näherungswert
für f(0.75) aus der Taylorformel für f mit [mm] x_{0} [/mm] = 1 und n = 2 .
Wiederholen Sie diesen Schritt für n = 3, 4, . . . , solange bis die
entsprechenden Näherungswerte für f(0.75) sich in den ersten vier
Nachkommastellen nicht mehr ändern. |
So konkret steht aber zur Restglied Berechnung nichts auf Wikipedia...
Brauch ich das denn überhaupt, da steht, dass es zur Aussage über die Abweichung (das Restglied) der Fkt. etwas aussagt...
Oben ist nochmal die genaue Afg-stellung...
Maple hatte ja 0.2191288232 und ich hab jetzt bei
n=2: -0,21978
n=3: -0,45891
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 10.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei der Aufgabenstellung brauchst du ja nix übers Restglied wissen. Du sollst einfach so lange weiterrechnen, bis die ersten 4 Kommastellen sich nicht mehr ändern, d. h. bis das nächst Glied <0.00005 ist!
bei n=3 musst du dich verrechnet haben! hast du die 3! im Nenner vielleicht vergessen? Du sollst mit x0=1 rechnen also Taylorpolynom von [mm] f^{(n)}(1)*(x-1)^{n}/n! [/mm]
dann sollte das für n=3 besser sein.
Und demnächst gleich die richtige Aufgabe posten!
Gruss leduart
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Danke jetzt passts. :)
Wann benötigt man denn das Restglied z.Bsp.?
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