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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 17.01.2007 | | Autor: | sara_99 |
| Aufgabe | Gegeben ist für jedes t > 0 die Funktion f (x)= [mm] \bruch{1}{6t} [/mm] (x - [mm] t)^{2} (x+t)^{2}.
[/mm]
Durch den Punkt P ( u | f (u) ) mit 0 < u < 3 werden die Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Diese Parallelen durch P begrenzen mit den Koordinatenachsen im ersten Feld ein Rechteck. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt A (u) dieses Rechtecks extremal wird. Untersuchen Sie dann die Art des Extremums. |
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung, wie ich das berechnen kann. Geht das mit der Integralrechnung (leider ist das lange her, seit ich das letzte Mal sowas gerechnet habe). Deshalb wäre ich echt dankbar, wenn mir jemand in der Richtung eine Stathilfe geben würde. Wie sähe das Integral aus?
Und was ist mit "der Art des Extremums" gemeint?
Danke für jeden Tipp.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, sarah,
> Gegeben ist für jedes t > 0 die Funktion f (x)=
> [mm]\bruch{1}{6t}[/mm] (x - [mm]t)^{2} (x+t)^{2}.[/mm]
>
> Durch den Punkt P ( u | f (u) ) mit 0 < u < 3 werden die
> Parallelen zu den Koordinatenachsen gezeichnet. Diese
> Parallelen durch P begrenzen mit den Koordinatenachsen im
> ersten Feld ein Rechteck. Bestimmen Sie u so, dass der
> Flächeninhalt A (u) dieses Rechtecks extremal wird.
> Untersuchen Sie dann die Art des Extremums.
Ich vermute mal, Du hast vergessen, uns zu schreiben, dass für diese Teilaufgabe t=3 gesetzt wird!? Nur dann macht die Vorgabe von 0 < u < 3 Sinn!
(Bitte um Bestätigung oder Richtigstellung: Ansonsten bringt eine Hilfestellung nichts!)
> Hallo,
> ich habe leider keine Ahnung, wie ich das berechnen kann.
> Geht das mit der Integralrechnung (leider ist das lange
> her, seit ich das letzte Mal sowas gerechnet habe).
Nein! Keine Integralrechnung! Es geht um die Fläche eines Rechtecks! Die berechnet man: Länge mal Breite!
Zeichne doch mal eine Skizze der Situation: Graph der Funktion mit Rechteck im I.Quadranten!
> Und was ist mit "der Art des Extremums" gemeint?
Naja: Ist's ein MAXIMUM oder ist's ein MINIMUM!?
(Wird wohl ein Maximum sein! - Aber das muss die Rechnung zeigen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mi 17.01.2007 | | Autor: | sara_99 |
Nein, da steht nichts von t=3... ich habe die Aufgabe so abgeschrieben, wie sie auf dem Zettel stand.
Achso, okay, danke... Integralrechnung ging ja nur bei Funtionen (?).
Ja, ich habe mir jetzt ein Skizze gemalt... Aber, da das u ja nicht festgelegt ist, wüsste ich jetzt nicht, wie ich weiter vorgehen soll.
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Hi, Sarah,
> Nein, da steht nichts von t=3... ich habe die Aufgabe so
> abgeschrieben, wie sie auf dem Zettel stand.
>
> Achso, okay, danke... Integralrechnung ging ja nur bei
> Funktionen (?).
Zumindest ist sie nur dann "notwendig"!
> Ja, ich habe mir jetzt ein Skizze gemalt... Aber, da das u
> ja nicht festgelegt ist, wüsste ich jetzt nicht, wie ich
> weiter vorgehen soll.
Wenn t wirklich nicht vorgegeben ist, wird wohl eine Fallunterscheidung
0 < t < 3; t=3; t>3 nötig!
(Eigentlich kommt mir das aber SEEEHR unwahrscheinlich vor!)
Naja!
Ich zeig' Dir mal, wie die Aufgabe anfängt:
Das Rechteck hat die Breite u und die Höhe f(u), demnach die Fläche:
A(u) = u*f(u) = [mm] \bruch{1}{6t}*u*(u-t)^{2}*(u+t)^{2} [/mm]
bzw. umgeformt:
A(u) = [mm] \bruch{1}{6t}*u*(u^{2} [/mm] - [mm] t^{2})^{2}
[/mm]
Das musst Du nun nach u ableiten und die Ableitung =0 setzen.
Dazu nun meine Frage: Kennst Du die Produktregel und die Kettenregel?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 17.01.2007 | | Autor: | sara_99 |
Achso, dann könnte man rein theoretisch auch hier Integralrechnung anwenden?
Ahh, danke! Ja, die kenne ich. Aber warum leitet man das jetzt ab?
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Hallo Sara!
Die Ableitung bestimmen tust du, weil du ein Extremum berechnen möchtest. Dazu ist [mm]f'(x_{0})=0 \wedge f''(x_{0})<0[/mm] hinreichende Bedingung für ein lokales (ev. auch globales) Maximum an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] bzw. [mm]f'(x_{0})=0 \wedge f''(x_{0})>0[/mm] hinreichende Bedingung für ein lokales (ev. auch globales) Minimum an der Stelle [mm]x_{0}[/mm].
Die Integralrechnung wird verwendet, um Flächeninhalte unter Graphen zu bestimmen.
Liebe Grüsse von Cristina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mi 17.01.2007 | | Autor: | sara_99 |
Stimmt, danke, ich habe die ganze Zeit an Flächenberechnung gedacht....
Danke auch nochmal an Zwerglein! 
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