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| Aufgabe | Setze [mm] $K:=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2| x^2+y^2<1 \wedge x,y>0\right\}$.
[/mm]
Berechne [mm] $\mu\left(K\right)$ [/mm] aus der Definition des maßes.
Hinweis: Apporimiere K durch paarweise disjunkte Rechtecke und interpretiere das Maß ihrer Vereinigung als Riemann-Summe. |
Offenbar ist K ein viertel des offenen Einheitskreises um den Nullpunkt. Die Fläche (oder mit den Vokabeln den Maßtheorie: das Maß) ist also [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm]
Jetzt ist die Frage, wie kommt man darauf? Das mit den Riemann-Summen leuchtet mir nicht ganz ein. Das müsste ja dann eine Reihe der form [mm] $\sum_{i=1}^n \left(b_{n+1}-b_n\right)f\left(b_n\right)$ [/mm] sein,wobei n gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht. Aber wie komme ich an die Werte von f?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
offenbar wird der Kreisbogen beschrieben durch $f(x) = [mm] \sqrt{1-x^2}$ [/mm] und die Fläche damit durch [mm] $\frac{\pi}{4} [/mm] = [mm] \integral_0^1 [/mm] f(x) dx$
Zerteilen wir nun [0,1] äquidistant in n gleiche Teile, so ist die Ober-/Untersumme des Integrals die von dir gesuchte Approximation durch Rechtecke.
Gruß,
Gono
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Ok, soweit so gut. Wenn ich $[0,1]$ in gleich lange Stücke zerteilen möchte, ist die einfachste methode: [mm] $I_i=[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n})$ [/mm] für alle $i=0,1,2,...,n-1$.
Füllen wir dies in die Summenformel, kommt da folgendes bei raus:
[mm] $\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}$. [/mm] Ist das formal so richtig? Einen Grenzwert abzulesen scheint mir aber nicht so leicht zu sein. Ist das überhaupt möglich?
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Hiho,
> Füllen wir dies in die Summenformel, kommt da folgendes
> bei raus:
> [mm]\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}[/mm].
Nein, die Summenformel wäre
[mm]\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}[/mm]
Und ist jetzt natürlich die Frage, welche Summenformel du genommen hast, deine wäre die Obersumme…
> Ist das formal so richtig? Einen Grenzwert abzulesen scheint
> mir aber nicht so leicht zu sein. Ist das überhaupt möglich?
Der Grenzwert IST das Integral!
D.h. [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx[/mm]
Wir haben das Pferd faktisch von hinten aufgezäumt… du solltest ja eine Summe von Rechtecken angeben, die die Fläche aproximiert.
Du wählst als Summe von Rechtecken eben [mm]\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}[/mm] und für die Berechnung des Grenzwerts "erkennst" du das jetzt eben als Obersumme von [mm]\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx[/mm] und weißt damit [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx[/mm]
Lösen des Integrals liefert dir also den GW und damit das gewünschte Maß.
Gruß,
Gono
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