Fläche bekannt, Integral nicht < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:36 Di 09.05.2006 | | Autor: | schletzing |
Hallo Freaks!
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunktskoordinaten und Radius:
[mm] \left( x - x_{m} \right)^2 + \left( y - y_{m} \right)^2 = r^2 [/mm]
Weiterhin ist eine Fläche gegeben: Die Fläche, die zwischen dem Kreisbogen und der x-Achse liegt, also quasi der Betrag des Integrals. Außerdem kenne ich eine der Intervallgrenzen.
Die Frage: Wo liegt die andere Intervallgrenze? Also: Bis wohin muss ich integrieren um einen gegebenen Flächeninhalt zu erreichen?
Wenn ich die Stammfunktion bilde erhalte ich (für den unteren Halbkreis):
[mm] F(x) = \integral_{a}^{b}{y_{m}-\wurzel{r^2- \left( x-x_{m} \right)^2}dx} [/mm]
Durch Substitution und Partielle Integration komme ich auf:
[mm] F(x) = \left[ y_{m} * x \right]_{a}^{b} - \left[ \bruch {1}{2} * \left( x - x_{m} \right) * \wurzel{ r^2 - \left( x - x_m \right)^2 } + \bruch {1}{2} * r^2 * \operatorname {arcsin} \left( \bruch {x - x_{m}}{r} \right) \right]_{a}^{b} [/mm]
Jetzt muss ich, da ich den Flächeninhalt (also die Lösung dieser Gleichung) bereits kenne nach der Intervallgrenze b auflösen (a ist auch bereits bekannt).
Da bekomme ich aber leider einen riesigen Term mit [mm] b^5, b^4, b^3, b^2, b^1 [/mm] und [mm] b^0 [/mm]! Das kann ich beim besten Willen nicht nach [mm] b [/mm] auflösen.
Gibt es denn vielleicht noch eine andere Möglichkeit das Integral auszudrücken?
Oder hat jemand einen tollen Einfall wie ich einige b's beim Umstellen der Gleichung loswerden kann?
Ein Freund hat mir bereits den Tipp gegeben ich solle es mal mit elliptischen Integralen versuchen, aber: Wie geht denn das? Und ist das erfolgsversprechend?
Danke im voraus...ihr seid Spitze!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Di 09.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schletzing!
Hast Du für Deine Aufgabe auch mal konkrete Zahlenwerte bzw. kannst Du Aufgabenstellung etwas präziser formulieren?
Diese Gleichung an sich halte ich nur mit numerischen Verfahren (Näherungsverfahren) für lösbar, da sich auch noch dieser [mm] $\arcsin(...)$ [/mm] darin "tummelt"  .
Ansonsten halte ich evtl. noch geometrische Betrachtungen für sinnvoll; sprich: die betrachtete Fläche in bekannte Teilflächen zerlegen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Diese Aufgabe stammt aus folgendem Gesamtzusammenhang:
Es geht um die Berechnung von Fahrzeiten eines Fahrzeuges. Dieses Fahrzeug soll aus dem Stillstand heraus langsam beschleunigt werden bis es nach eine Maximalbeschleunigung erreicht hat. Dazu dient in meinem Fall die Kreisbahn.
Wenn du dich noch an die Physik erinnerst kennst du vielleicht das v,t-Diagramm, also Geschwindigkeit über der Zeit aufgetragen.
Die Steigung im v,t-Diagramm ist die Beschleunigung (Geschwindigkeit nach der Zeit abgeleitet).
Die Fläche unter der Funktion ist der zurückgelegte Weg (Geschwindigkeit mal Zeit).
Nun gibt es bei meinem Fahrzeug aber Fälle, wo der zu fahrende Weg sehr kurz ist, dass heißt das Fahrzeug bleibt irgendwo im Beschleunigungsvorgang stecken. Ich muss nun herausfinden wie lange es dauert bis dieser vorgegebene Weg zurückgelegt ist.
Ganz konkret heißt das in einer Aufgabe: (Vielleicht kannst du dir eine Skizze machen..?)
Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius [mm] r = 2,075 [/mm]. Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei [mm] x_{m} = 0,000 [/mm] und [mm] [mm] y_{m} [/mm] = 2,075 [mm].
Das Fahrzeug fährt zum Zeitpunkt t = 0 los, die erste Intervallgrenze ist also [mm] a = 0 [/mm].
Wie lange dauert es bis das Fahrzeug die ersten [mm] 0,08m [/mm] zurückgelegt hat? (Die Fläche unter dem Kreisbogen ist also [mm] 0,08 [/mm] Flächeneinheiten groß, gesucht ist die zugehörige Intervallgrenze [mm] b = ? [/mm]
Zu deinem Vorschlag: Wie würdest du das numerisch lösen? Hast du da vielleicht schon einen Ansatz im Kopf?
Ich habe schon überlegt eine riesige Exceltabelle anzulegen und das Integral im Intervall von 0,001 immer neu zu berechnen. Anschließend könnte ich nach dem nächstgelegenen Wert suchen. Das ist aber natürlich alles andere als elegant und außerdem auch nur bedingt genau.
Und was meinst du mit den geometrischen Betrachtungen? Welche Teilflächen sind denn bekannt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo schletzing
Aus deiner Frage geht noch nicht hervor, welches Beschleunigungsgesetz vorgegeben ist. also a(t). So wie du rechnest um den Weg zu bestimmen muss ja v(t) dein y sein. Was soll da für ein a(t) dazu gehören? also [mm] $v(t)=r-\wurzel{r^2-t^2}$ [/mm] das gibt mit a=v# ein sehr eigenartiges Beschleunigungsgesetz.
Oder bewegt sich dein Fahrzeug auf nem Kreis?
vielleicht hast du bei der Umsetzung der Physik in die Mathe den eigentlichen Fehler gemacht?
Also schreib bitte dein komplettes Problem auf.
Wenn du wirklich die Fläche unter nem Kreisbogen suchst, machs ohne Integral als Dreieck minus Kreissektor.
(Bei der Antwort kannst du annehmen, dass ich Physik auf dem Level noch beherrsche)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Di 09.05.2006 | | Autor: | schletzing |
Ich glaube jetzt verstehe ich nichts mehr.
Eine Beschleunigung ist doch eine Geschwindigkeit abgeleitet nach der Zeit, nicht wahr? Geschwindigkeit pro Zeit, [mm] \bruch {v}{t} [/mm], also die Steigung in meinem v,t-Diagramm?!
Da ich auf der y-Achse v auftrage und auf der x-Achse t ist die Geschwindigkeit eine Funktion der Zeit. Dann ist die Ableitung nach x (also nach der Zeit) die Beschleunigung, also [mm] a = y' [/mm]. Die Funktion mit der ich die Geschwindigkeit bestimme ist eine Kreisfunktion. Also leite ich diese auch ab.
Das klingt für mich jedenfalls sehr logisch.
Wenn du immernoch arge Zweifel hegst das das was ich mache richtig ist meld dich bitte nochmal, ok?
Werde mich jetzt mal deinen Dreiecken und Kreisausschnitten widmen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo schletzing
Mich irritiert, dass du von einer "langsam" anwachsenden Beschl. sprichst, aber es ergibt sich doch [mm] a(t)=t/\wurzel{r^{2}-t^{2}} [/mm] d.h. die Beschleunigung wächst nicht langsam sondern schnell und ist bei t=r unendlich.
2. Irritation, du gibst den Radius und MP in mm an, aber ym müssten m/s und xm s sein, r in s sonst kann ich$ [mm] r^2-t^2$ [/mm] nicht bilden.
Wer oder wodurch wurde die Geschw. so vorgegeben?
Gruss leduart
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Ich habe jetzt mal mit dem Dreieck und dem Kreisabschnitt rumgespielt:
Ich glaub dat wird nix.
Bei mir ist ja das Problem das ich den Flächeninhalt unter dem Kreisbogen bereits kenne, ich suche die passende Intervallgrenze [mm] b [/mm]. Also kenne ich weder [mm] x [/mm] noch [mm] f(x) [mm] noch [mm] f'(x) [mm], ich kenne nur den Radius des Kreises und die Koordinaten des Mittelpunktes sowie die erste Intervallgrenze [mm] a = 0 [/mm].
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo schlezing
gesuchtee Zeit t1, Winkel im Kreis bei t1 [mm] \phi=arcsin(t1/r). [/mm] der Radius zu Phi wird bis zur t Achse verlängert, Schnittpunkt d, es gilt t1/d=(r-f(t1))/r,
Fläche des Dreiecks A!=0,5*d*r
Fläche des Kreissegments: [mm] A2\phi*r [/mm] , bleibt das Dreieck A3 aus (d-t1) und f(t1)
0,8=A1-A2-A3 ohne Integralrechng.
Aber nach t1 auflösen möcht ich das nicht.
Wenn das ganze nur kurze Zeit gilt kann man den kreis durch ne Parabel sehr gut annähern und ist dann schnell fertig.
Gruss leduart
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