Fläche berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Di 29.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
(i) Die Fläche der Menge
[mm] A = \{ (x,y) | 0 \le x \le \pi, & x^2 - 9 \le y \le \sin(x) +1 \} [/mm] in [mm] \mathbb R^2 [/mm]
(ii) Das Volumen der Menge
[mm] B = \{ (x,y,z) | x^2 + y^2 - z^2 =1, & -1 \le z \le 1 \} [/mm] ind [mm] \mathbb R^3 [/mm]. |
Guten Abend !
Ich bereite mich auf die Analysis III Klausur vor und rechen nun schon verschiedenste Aufgaben dazu.
Bei dieser Aufgabe habe ich den Teil (i) bearbeitet, bin mir aber ziemlich unsicher, da ich das Gefühl habe, dass ich mir das da vielleicht zu einfach gemacht habe.
So, ich habe folgendes gemacht:
[mm] \integral_{ \mathbb R^2} \chi_{A} dydx [/mm]
[mm] = \integral_0^{ \pi} \integral_{x^2 - 9 }^{ \sin(x) +1} dydx [/mm]
[mm] = \integral_0^{ \pi} \left[ y \right]_{x^2 - 9 }^{ \sin(x) +1} dx [/mm]
[mm] = \integral_0^{ \pi} ( sin(x) +1 - x^2 + 9 ) dx [/mm]
[mm] = \left[ - \cos(x) +x - \bruch{1}{3} x^3 + 9x \right]_{0}^{\pi} [/mm]
[mm] = (1 + \pi - \bruch{1}{3} \pi^3 + 9 \pi )-(-1) = 2 + 10 \pi - \bruch{1}{3} \pi^3 [/mm]
Kann es sein, dass dies vielleicht richtig ist?
Und zum Teiöl (ii) : Soll man da die Transformationsformel am besten benutzen?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Di 29.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
(i) sieht mir richtig aus. Ist ja übersetzt nur das Integral zwischen f(x)=sinx+1 und g(x)=x²-9 von 0 bis [mm] \pi, [/mm] oder irre ich mich?
Zu (ii) kann ich leider nichts sagen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Irmchen
(i) ist richtig. ich hoffe du hast dich vorher überzeugt, dass sich die fkt. [mm] x^2-9 [/mm] und sinx+1 ausserhalb der grenzen für x erst schneiden.
zu(ii) was meinst du mit Transformation? hier bieten sich Zylinderkoordinaten an. meinst du das? dann ists auch wieder ganz einfach.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
> (i) ist richtig. ich hoffe du hast dich vorher überzeugt,
> dass sich die fkt. [mm]x^2-9[/mm] und sinx+1 ausserhalb der grenzen
> für x erst schneiden.
Nee, leider habe ich das total vergessen. Also muss ich demnächst dran denke, das auch zu prüfen! Danke!
> zu(ii) was meinst du mit Transformation? hier bieten sich
> Zylinderkoordinaten an. meinst du das? dann ists auch
> wieder ganz einfach.
Ja genau, Zylinderkoordinaten meine ich damit! Gut, dann hatte ich mal die richtige Idee  . Ich werde jetzt versuchen diese umzusetzten und melde mich später mit dem Ergebnis!
Danke nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Mi 30.01.2008 | | Autor: | weduwe |
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Hallo
Die Menge B beschreibt eine Fläche. Somit ist etwas eigenartig, ihr Volumen berechnen zu müssen. Soll man ihre Oberfläche berechnen? Oder ist B nicht genau gegeben (< statt =)?
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Nein, die Aufgabenstellung ist korrekt... Ich komme leider auch nicht klar damit :-(.
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Leider bereitet mir den Aufgabenteil (ii) mehr Problem als ich dachte :-(. Ich versuche die Aufgabe mit Hilfe der Zylinderkoordinaten zu lösen ,aber habe schon Schwierigkeiten beim Aufstellen des Integrals und komme somit garnicht weiter.
Ich wäre um einen Tipp sehr dankbar!
Also: Bei den Zylinderkoodinaten versuche ich meine x, y, z - Koordinaten zu trnasfomieren, sprich:
Ich benutze die Abbildung
[mm] \phi : \left[0, \infty \right[ \times \left[ 0, 2 \pi \right] \times \mathbb R \to \mathbb R^3 [/mm] gegeben durch
[mm] \phi (r, t, z ) := ( r \cos(t), r \sin(t), z) [/mm]
Also setze ich dann
[mm] x = r \cdot \cos(t) [/mm] , [mm] y = r \cdot \sin(t) [/mm] und z bleibt z .
Dann folgt für das Integral:
[mm] \integral_{ \mathbb R^3 } f(x) dx = \integral_{ - \infty}^{ \infty} \integral_0^{ 2 \pi} \integral_0^{ \infty} f( \phi (r,t,z)) \cdot r \cdot drdtdz [/mm]
Wo ist jetzt mein f ? Wenn ich richtig sehe habe ich keines, oder?
Dann weiß ich nicht wie ich an die neuen Grenzen komme. Für das z bleiben die so, aber was ict mit r und t?
Ist r = 1 ?
Es wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte ,wie ich vorgehen soll.
Viele Grüße
Irmche
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du dir die Menge mal aufzeichnest- überleg dir die Schnitte mit Ebenen z=0, z=1/2, z=1- dann siehst du, dass du die Oberfläche eines Stücks Hyperboloid berechnen sollst. also kein wirkliches "Volumen" weil da ja steht [mm] x^2+y^2=1+z^2
[/mm]
und nicht [mm] x^2+y^2\le 1+z^2
[/mm]
mit x=rcost, y=rsint hast du doch [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] also [mm] r=\wurzel{1+z^2}
[/mm]
also nur über z und t integrieren, t natürlich von 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] z von -1 bis +1
ists damit klar?
Vorstellung dabei ist, du denkst dir schmale Ringe Umfang [mm] 2\pi*r [/mm] , Höhe dz und summierst die auf, dabei ist r von z abhängig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Also , ich verstehe das jetzt folgendermaßen:
[mm] x = r \cdot \cos(t) & y= r \cdot \sin(t) [/mm] und durch die Umstellung der Gleichung ergibt sich [mm] x^2 + y^2 = 1 + z^2 = r^2 [/mm] und damit [mm] r = \wurzel{ 1 + z^2 } [/mm].
Dann rechne ich doch jetzt mit Polarkoordinaten, oder?
Also, sprich
[mm] \integral_{-1}^{1} \integral_0^{ 2 \pi} r \cdot \cos(t) \cdot r \sin(t) \cdot r & dt dz [/mm]
[mm] = \integral_{-1}^{1} \integral_0^{ 2 \pi} \wurzel{ 1 + z^2 } \cos(t) \cdot \wurzel{ 1 + z^2 } \sin (t) \cdot \wurzel{ 1 + z^2 } dt dz [/mm]
[mm] =\integral_{-1}^{1} ( 1+ z^2 ) \cdot \wurzel{ 1 + z^2 } \integral_0^{ 2 \pi} \cos(t) \sin(t) dt dz [/mm]
Ist das der richtige Weg?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:43 Mi 30.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht in Polar bzw Zylinderkoordinaten rechnen und dann doch wieder x ud y einsetzen. Du willst doch die Fläche von dem Ding ausrechnen. und nicht x*y auf der Fläche aufsummieren! ein Flächenelement hat die Fläche dA=r*dt*dz und über die willst du summieren!
also
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{-1}^{+1}{rdzdt}=\integral_{0}^{2\pi}\integral_{-1}^{+1}{\wurzel{1+z^2} dzdt} [/mm] oder a das Ding symetrisch zu z=0 ist noch besser :
[mm] 2*\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{+1}{rdzdt}
[/mm]
Wenn du dir das kein bischen vorstellst ist es schwierig. Ich hoffe du hast die Fläche skizziert.
Was du dir vorstellen sollst: in irgendeiner Höhe z einen Ring mit dem Radius r, der durch z festgelegt ist. der Ring hat den Umfang [mm] 2\pi*r [/mm] und die Breite bzw. Höhe dz also die Fläche [mm] 2\pi*r*dz
[/mm]
(die Integration über t hab ich in Gedanken schon gemacht) alle diese Ringe addierst du jetzt. Da sie nur die Höhe dz haben integrierst du, statt zu summieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank .
Viele Grüße
Irmchen
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:26 Sa 02.02.2008 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Mein Flächenelement und die Schöne Erklärung ist leider falsch, Korbinian hat mich darauf aufmerksam gemacht!
Die Fläche ist ja gegeben durch
\vektor{r*cost \\r*sint\\\wurzel{1+r^2}}
Damit ist $dA=|\partialF/\partialr \times\partialF/\partial\t|*dr*dt={\wurzel{1+r^2/(1+r^2)}*rdrdt.
Un damit wird das Integral erstmal fies.
vielleicht wirds mit hyperbolischer Parametrisierung einfacher?
x=coshu cost
y=sinhu sint
z=coshu
r=sinhu
das hab ich aber nicht gerechnet.
Gruss leduart
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Hallo
Da B symmetrisch zur xy-Ebene ist genügt es die Fläche von
C={(x,y,z) [mm] \in \IR^3: x^2+y^2-z^2=1; [/mm] 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 1} zu bestimmen.
Schneidet man C mit der xz-Ebene (y=0) so erhält man im 1. Quadranten der xz-Ebene den Graphen der Funktion [mm] f(x)=\wurzel{x^2-1} [/mm] mit Definitionsbereich [mm] [1;\wurzel{2}].
[/mm]
Rotiert nun dieser Graph um die z-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit der Oberfläche C.
Leider habe ich für seine Oberfläche keine "fertige Formel".
Aber: Geht man zum Graphen der Umkehrfunktion von f über (spiegelt den Graphen von f also an der Winkelhalbierenden des 1. und 3 Quadranten der xz-Ebene) und lässt diesen um die x-Achse rotieren, so erhält man einen Rotationkörper mit der gleichen Oberfläche. Diese kann man nun mit der Formel
S= [mm] 2\pi \integral_{0}^{1}{f^{-1}(x) \wurzel{1+ (\bruch{df^{-1}}{dx})^{2}}}dx
[/mm]
berechnen. (Die Integrationsgrenzen sind durch den Definitionsbereich der Umkehrfunktion festgelegt.)
Setzt man in obige Formel ein, so erhält man
[mm] S=2\pi \integral_{0}^{1}{ \wurzel{1+2x^{2}}}dx [/mm] (*)
Mit der Substitution [mm] u=\wurzel{2}x [/mm] erhält man ein Integral, dessen Stammfunktion im Bronstein steht.
Ergebnis noch mit 2 multipliezieren ergibt Oberfläche von B.
Die oben beschriebene Methode ist natürlich nicht auf jede Fläche anwendbar. Im allgemeinen Fall wird man wohl die Fläche parametrisieren müssen und dann mit der "allgemeinen Flächeninhaltsformel für parametrisierte Flächen" integrieren müssen, wie oben von leduart angedeutet. Das von ihr erhaltene "fiese" Integral ist mit der Substitution
u= [mm] \wurzel{x^{2}-1} [/mm] auf (*) zurückzuführen.
Gruß korbinian
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