Fläche berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 Mi 22.12.2010 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Gegeben sind die beiden Funktionen f und g (siehe Skizze)
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Berechnen Sie den Schnittpunkt S.
b) Gegeben ist die Funktion h(x,y) = x [mm] \cdot{} [/mm] y
Berechnen Sie [mm] \integral_{B}^{} [/mm] h(x,y); Bereich B siehe Skizze. |
Guten Morgen,
a) Ich habe die beiden Funktionen gleichgesetzt, dann Substituiert t = [mm] x^2 [/mm] und mit der Mitternachtsformel das Ergebnis berechnet anschließend wieder Rücksubstituiert.
[mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{4}x^4+2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{2}x^2 [/mm] - 2 = 0 | t = [mm] x^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}t^2+\bruch{1}{2}t [/mm] - 2 = 0
[mm] t_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+2}}{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}\pm\bruch{3}{2}}{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] t_1 [/mm] = 2 und [mm] t_2 [/mm] = -4
Rücksubstitution:
[mm] t_1 [/mm] = 2: 2 = [mm] x^2 [/mm] -> [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{2}
[/mm]
[mm] t_2 [/mm] = -4: -4 = [mm] x^2 [/mm] -> [mm] x_{3,4} [/mm] = [mm] \pm\wurzel{4i^2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2i
Da es aber um die reellen Zahlen geht und der Schnittpunkt auf der positiven x-Achse (x>0, siehe Skizee) liegt, bleibt als Schnittpunkt S [mm] (\wurzel{2}, [/mm] 1).
Stimmt der Schnittpunkt S?
b)
Hierbei habe ich den Ansatz gewählt zuerst die obere Fläche zwischen f(x) und der x-Achse bis zum Schnittpunkt zu berechnen und dann die untere Fläche zwischen g(x) und x-Achse bis zum Schnittpunkt und die beiden voneinander abzuziehen.
Der Ansatz sieht wie folgt aus:
[mm] \integral_{B}^{} [/mm] h(x,y) = [mm] \left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{2} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|
[/mm]
Stimmt das?
Nun berechnen ich die beiden Integral entsprechend, zuerst y dann x integrieren und beim zweiten Integral umgekehrt.
Ich erhalte dann beim ersten Integral folgendes Ergebnis:
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) [/mm] dx = [mm] \bruch{43}{30}
[/mm]
und beim zweiten Integral:
[mm] \integral_{0}^{2} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) [/mm] dy = [mm] \bruch{10}{3}
[/mm]
Als Gesamtergebnis erhalte ich dann
[mm] \integral_{B}^{} [/mm] h(x,y) = [mm] \left | \bruch{43}{30} - \bruch{10}{3}
\right| [/mm] = [mm] \bruch{19}{10} [/mm] = 1,9
Stimmt dieses Ergebnis der Fläche?
Vielen Dank
Beste Grüße
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo, die Schnittpunkte fehlen noch
[mm] 0,5*x^{2}=-0,25*x^{4}+2
[/mm]
[mm] 0,25*x^{4}+0,5*x^2-2=0 [/mm] Substitution [mm] t=x^{2}
[/mm]
[mm] 0,25*t^{2}+0,5*t-2=0
[/mm]
[mm] t^{2}+2*t-8=0 [/mm] p-q-Formel
[mm] t_1=2 [/mm]
[mm] t_2=-4
[/mm]
die Rücksubstitution für [mm] t_1 [/mm] ergibt die Schnittstellen [mm] x_1_2=\pm\wurzel{2}, [/mm] hast du,
die Schnittpunkte sind [mm] S_1(-\wurzel{2};1) [/mm] und [mm] S_2(\wurzel{2};1)
[/mm]
es gibt in Aufgabe a) keine Einschränkung x>0
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Mi 22.12.2010 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich habe den Schnittpunkt angegeben und zwar [mm] S(\wurzel{2},1).
[/mm]
Du hast Recht es steht nicht explizit da, das x > 0. Jedoch steht bei a) kein Plural: also den (einen) Schnittpunkt S berechnen. Und auch die Skizze zeigt nur diesen einen Schnittpunkt und nicht zwei.
Ich hatte in der Skizze noch vergessen den Schnittpunkt S namentlich einzuzeichen, also wo sich die beiden Funktionen schneiden, steht in der Originalskizze ein S.
Deswegen gehe ich davon aus, das es nur diesen einen gibt, ansonsten ist die Fläche von x- und y-Achse begrenzt.
Oder liege ich da falsch?
Ist die dann die Berechnung der Fläche richtigt?
Grüße
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mi 22.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die beiden Funktionen f und g (siehe Skizze)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a) Berechnen Sie den Schnittpunkt S.
> b) Gegeben ist die Funktion h(x,y) = x [mm]\cdot{}[/mm] y
> Berechnen Sie [mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y); Bereich B
> siehe Skizze.
> Guten Morgen,
>
> a) Ich habe die beiden Funktionen gleichgesetzt, dann
> Substituiert t = [mm]x^2[/mm] und mit der Mitternachtsformel das
> Ergebnis berechnet anschließend wieder Rücksubstituiert.
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^2[/mm] = [mm]-\bruch{1}{4}x^4+2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{2}x^2[/mm] - 2 = 0 | t = [mm]x^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}t^2+\bruch{1}{2}t[/mm] - 2 = 0
>
> [mm]t_{1,2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+2}}{\bruch{1}{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}\pm\bruch{3}{2}}{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]t_1[/mm] = 2 und [mm]t_2[/mm] = -4
>
> Rücksubstitution:
> [mm]t_1[/mm] = 2: 2 = [mm]x^2[/mm] -> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm\wurzel{2}[/mm]
> [mm]t_2[/mm] = -4: -4 = [mm]x^2[/mm] -> [mm]x_{3,4}[/mm] = [mm]\pm\wurzel{4i^2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 2i
>
> Da es aber um die reellen Zahlen geht und der Schnittpunkt
> auf der positiven x-Achse (x>0, siehe Skizee) liegt, bleibt
> als Schnittpunkt S [mm](\wurzel{2},[/mm] 1).
>
> Stimmt der Schnittpunkt S?
ja, wenn B so wie in der Skizze ist, dann ist stets x [mm] \ge [/mm] 0
>
> b)
> Hierbei habe ich den Ansatz gewählt zuerst die obere
> Fläche zwischen f(x) und der x-Achse bis zum Schnittpunkt
> zu berechnen und dann die untere Fläche zwischen g(x) und
> x-Achse bis zum Schnittpunkt und die beiden voneinander
> abzuziehen.
>
> Der Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{2} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|[/mm]
>
> Stimmt das?
Nicht ganz:
Es ist
[mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|[/mm]
FRED
>
> Nun berechnen ich die beiden Integral entsprechend, zuerst
> y dann x integrieren und beim zweiten Integral umgekehrt.
>
> Ich erhalte dann beim ersten Integral folgendes Ergebnis:
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right)[/mm]
> dx = [mm]\bruch{43}{30}[/mm]
>
> und beim zweiten Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{2} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right)[/mm]
> dy = [mm]\bruch{10}{3}[/mm]
>
> Als Gesamtergebnis erhalte ich dann
>
> [mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left | \bruch{43}{30} - \bruch{10}{3}
\right|[/mm]
> = [mm]\bruch{19}{10}[/mm] = 1,9
>
> Stimmt dieses Ergebnis der Fläche?
>
> Vielen Dank
> Beste Grüße
> itse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mi 22.12.2010 | | Autor: | itse |
Danke für die Antwort. Es muss natürlich die Fläche der unteren Funktion bis zum Schnittpunkt berechnet werden, das hab ich übersehen.
Gruß
itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 25.12.2010 | | Autor: | itse |
Hallo Beisammen und frohe Weihnachten,
> Nicht ganz:
>
> Es ist
>
> [mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|[/mm]
Dabei habe ich noch einen weiteren Fehler gemacht und zwar bei der unteren Schranke mit [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}y}. [/mm] Die Gleichung lautet wie folgt:
[mm]y = \bruch{1}{2}x^2 -> x^2 = 2y -> x = \pm \wurzel{2y}[/mm], hierbei wähle ich [mm]x = \wurzel{2y}[/mm]
Somit lautet der Ansatz:
[mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{2y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|[/mm]
Habe ich hierbei vielleicht noch weitere Fehler gemacht?
Nun berechne ich die beiden Integrale:
[mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left \bruch{1}{2}xy^2 \right|^{y=-\bruch{1}{4}x^4+2}_{y=0} dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{1}{2}x(-\bruch{1}{4}x^4+2)^2 dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{1}{2}x(\bruch{1}{16}x^8-x^4+4) dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{1}{32}x^9-\bruch{1}{2}x^5+2x dx = \left \bruch{1}{32} \cdot{} \bruch{1}{10}x^{10} - \bruch{1}{2} \cdot{} \bruch{1}{6}x^6+x^2 \right|^{\wurzel{2}}_{0} = \left \bruch{1}{320}x^{10} - \bruch{1}{12}x^6+x^2 \right|^{\wurzel{2}}_{0} = \bruch{43}{30} [/mm]
[mm]\integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{2y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy = \integral_{0}^{1} \left \bruch{1}{2}x^2y \right|^{x=\wurzel{2}}_{x=\wurzel{2y}} dy = \integral_{0}^{1} \left y -\bruch{1}{2}(\wurzel{2})^y dy = \integral_{0}^{1} \left y - y^2 dy = \left \bruch{1}{2}y^2-\bruch{1}{3}y^3 \right|^{1}_{0} = \bruch{1}{2}1^2-\bruch{1}{3}1^3 - 0 = \bruch{1}{6}[/mm]
Gesamtergebnis:
[mm]\integral_{B}^{} h(x,y) = \left| \bruch{43}{30} - \bruch{1}{6} \right| = \bruch{19}{15} \approx 1,27 [/mm]
Stimmt dieses Ergebnis?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo Beisammen und frohe Weihnachten,
>
> > Nicht ganz:
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{\bruch{1}{2}y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|[/mm]
>
> Dabei habe ich noch einen weiteren Fehler gemacht und zwar
> bei der unteren Schranke mit [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}y}.[/mm] Die
> Gleichung lautet wie folgt:
>
> [mm]y = \bruch{1}{2}x^2 -> x^2 = 2y -> x = \pm \wurzel{2y}[/mm],
> hierbei wähle ich [mm]x = \wurzel{2y}[/mm]
>
> Somit lautet der Ansatz:
>
> [mm]\integral_{B}^{}[/mm] h(x,y) = [mm]\left| \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx - \integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{2y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy \right|[/mm]
>
> Habe ich hierbei vielleicht noch weitere Fehler gemacht?
Nein, Du hast da keinen Fehler gemacht.
>
> Nun berechne ich die beiden Integrale:
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{2}} \left( \integral_{0}^{-\bruch{1}{4}x^4+2} x \cdot{}y\ dy \right) dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \left \bruch{1}{2}xy^2 \right|^{y=-\bruch{1}{4}x^4+2}_{y=0} dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{1}{2}x(-\bruch{1}{4}x^4+2)^2 dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{1}{2}x(\bruch{1}{16}x^8-x^4+4) dx = \integral_{0}^{\wurzel{2}} \bruch{1}{32}x^9-\bruch{1}{2}x^5+2x dx = \left \bruch{1}{32} \cdot{} \bruch{1}{10}x^{10} - \bruch{1}{2} \cdot{} \bruch{1}{6}x^6+x^2 \right|^{\wurzel{2}}_{0} = \left \bruch{1}{320}x^{10} - \bruch{1}{12}x^6+x^2 \right|^{\wurzel{2}}_{0} = \bruch{43}{30}[/mm]
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> [mm]\integral_{0}^{1} \left( \integral_{\wurzel{2y}}^{\wurzel{2}} x \cdot{}y\ dx \right) dy = \integral_{0}^{1} \left \bruch{1}{2}x^2y \right|^{x=\wurzel{2}}_{x=\wurzel{2y}} dy = \integral_{0}^{1} \left y -\bruch{1}{2}(\wurzel{2})^y dy = \integral_{0}^{1} \left y - y^2 dy = \left \bruch{1}{2}y^2-\bruch{1}{3}y^3 \right|^{1}_{0} = \bruch{1}{2}1^2-\bruch{1}{3}1^3 - 0 = \bruch{1}{6}[/mm]
>
> Gesamtergebnis:
>
> [mm]\integral_{B}^{} h(x,y) = \left| \bruch{43}{30} - \bruch{1}{6} \right| = \bruch{19}{15} \approx 1,27 [/mm]
>
> Stimmt dieses Ergebnis?
Ja, das Ergebnis stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß
> itse
Gruss
MathePower
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