Fläche im 1.Quadranten < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Fr 21.02.2014 | | Autor: | nevo99 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= ax [mm] -x^3
[/mm]
a) Für welche Werte von a wird von dem Graphen der Funktion im 1. Quadranten eine Fläche eingeschlossen?
b) Bestimmen sie a so, dass die Maßzahl der Fläche 1 ist. |
Kann jemand erklären wie man die Aufgaben lösen kann?
mfg Nevo99
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Fr 21.02.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben ist die Funktion f(x)= ax [mm]-x^3[/mm]
>
> a) Für welche Werte von a wird von dem Graphen der
> Funktion im 1. Quadranten eine Fläche eingeschlossen?
Dazu berechne zuerst mal die Nullstellen dieser Funktion, aus
[mm] ax-x^{3}=0 [/mm] folgt [mm] x(a-x^{2})=0, [/mm] also [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=\sqrt{a} [/mm] und [mm] x_{3}=-\sqrt{a}
[/mm]
Außerdem gilt hier für Funktionsgrenzwerte:
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}(ax-x^{3})=-\infty
[/mm]
bzw
[mm] \lim\limits_{x\to-\infty}(ax-x^{3})=\infty
[/mm]
Damit muss die Fläche zwischen x=0 und [mm] x=\sqrt{a} [/mm] oberhalb der x-Achse liegen, damit die Wurzel aber überhaupt definiert ist, und es überhaubt die Nullstellen [mm] x=\pm\sqrt{a} [/mm] geben kann, muss a>0 sein, denn sonst kannst du die Wurzel ja nicht ziehen.
>
> b) Bestimmen sie a so, dass die Maßzahl der Fläche 1
> ist.
> Kann jemand erklären wie man die Aufgaben lösen kann?
Berechne hier a aus folgender Gleichung:
[mm] 1=\int\limits_{0}^{\sqrt{a}}ax-x^{3}dx
[/mm]
>
> mfg Nevo99
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Fr 21.02.2014 | | Autor: | nevo99 |
danke für die schnelle Antwort. Also die a) habe ich verstanden soweit.
bei der b) lautet die Stammfunktion:
F(x) [mm] \bruch{a}{2}x^2 -\bruch{1}{4}x^4
[/mm]
jetzt [mm] F(\wurzel{a}) [/mm] - F(0) = [mm] \bruch{a}{2}*a [/mm] - [mm] a^2-(0) [/mm] und dass muss ich gleich 1 setzen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Fr 21.02.2014 | | Autor: | chrisno |
> ...
> bei der b) lautet die Stammfunktion:
>
> F(x) [mm]\bruch{a}{2}x^2 -\bruch{1}{4}x^4[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> jetzt [mm]F(\wurzel{a})[/mm] - F(0) = [mm]\bruch{a}{2}*a[/mm] - [mm]a^2-(0)[/mm]
wo ist das [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] geblieben?
> und dass muss ich gleich 1 setzen oder?
Ja, das steht schon in der Antwort von M.Rex.
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