Fläche mit Ähnlichkeitsfaktor < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Verallgemeinere den Satz aus Aufgabe 1 auf Vielecke und begründe ihn. |
Hallo Vorhilfe Team,
in Aufgabe 1 sollte man die Beziehung zwischen dem rechteck ABCD und dem rechteck A'B'C'D' das aus dem Ähnlichkeitsfaktor k entsteht herausfinden.
Meine Lösung hierzu:
Flächeninhalt ABCD = [mm] A_{1}
[/mm]
Flächeninhalt A'B'C'D' = [mm] A_{2}
[/mm]
[mm] A_{1}= a*b [/mm]
Es gilt: [mm] a * k = a' [/mm] und [mm] b * k = b' [/mm]
Also: [mm] A_{2} = a' * b' [/mm]
[mm] A_{2} = a * k * b * k [/mm]
[mm] A_{2} = k^{2} * a * b [/mm]
[mm] A_{2} = k^{2} * A_{1} [/mm]
Dies ist aber nich mein Problem, sondern dass ich diesen jetzt auf Vielecke allgemein anwenden und begründen soll.
Mein Ansatz ist jetzt dass ich erst mal den satz für ähnliche Dreiecke begründe.
Flächeninhalt Dreieck 1 = [mm] A_{1} = g * h / 2 [/mm]
Flächeninhalt Dreieck 2 = [mm] A_{2} = g' * h' / 2 [/mm]
Wieder gilt [mm] g * k = g' [/mm] und [mm] h * k = h' [/mm]
[mm] A_{2} = g' * h' / 2 [/mm]
[mm] A_{2} = g * k * h * k /2 [/mm]
[mm] A_{2} = k^{2} * g * h /2 [/mm]
[mm] A_{2} = k^{2} * A_{1} [/mm]
Da man jedes beliebige Vieleck in Rechtecke und Dreiecke unterteilen kann (wofür der Satz schon bewiesen ist), gilt der Satz für jedes beliebige Vieleck.
Meine Frage: Ist das richtig? Wenn ja: Reicht das aus? Oder muss man es noch präziser begründen ?
mfg Spiderschwein
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> Verallgemeinere den Satz aus Aufgabe 1 auf Vielecke und
> begründe ihn.
> Hallo Vorhilfe Team,
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> in Aufgabe 1 sollte man die Beziehung zwischen dem rechteck
> ABCD und dem rechteck A'B'C'D' das aus dem
> Ähnlichkeitsfaktor k entsteht herausfinden.
> Meine Lösung hierzu:
>
> Flächeninhalt ABCD = [mm]A_{1}[/mm]
> Flächeninhalt A'B'C'D' = [mm]A_{2}[/mm]
>
> [mm]A_{1}= a*b[/mm]
>
> Es gilt: [mm]a * k = a'[/mm] und [mm]b * k = b'[/mm]
>
> Also: [mm]A_{2} = a' * b'[/mm]
> [mm]A_{2} = a * k * b * k[/mm]
>
> [mm]A_{2} = k^{2} * a * b[/mm]
> [mm]A_{2} = k^{2} * A_{1}[/mm]
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> Dies ist aber nich mein Problem, sondern dass ich diesen
> jetzt auf Vielecke allgemein anwenden und begründen soll.
>
> Mein Ansatz ist jetzt dass ich erst mal den satz für
> ähnliche Dreiecke begründe.
>
> Flächeninhalt Dreieck 1 = [mm]A_{1} = g * h / 2[/mm]
> Flächeninhalt
> Dreieck 2 = [mm]A_{2} = g' * h' / 2[/mm]
>
> Wieder gilt [mm]g * k = g'[/mm] und [mm]h * k = h'[/mm]
>
> [mm]A_{2} = g' * h' / 2[/mm]
> [mm]A_{2} = g * k * h * k /2[/mm]
> [mm]A_{2} = k^{2} * g * h /2[/mm]
>
> [mm]A_{2} = k^{2} * A_{1}[/mm]
>
> Da man jedes beliebige Vieleck in Rechtecke und Dreiecke
> unterteilen kann (wofür der Satz schon bewiesen ist), gilt
> der Satz für jedes beliebige Vieleck.
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> Meine Frage: Ist das richtig? Wenn ja: Reicht das aus? Oder
> muss man es noch präziser begründen ?
>
Hallo,
ich denke eigentlich, daß es so schon reicht.
Wenn Du mehr schreiben willst, könntest Du schreiben:
Jedes Vieleck kann man in endlich viele Dreiecke zerlegen, z.B. in n Dreiecke mit den Flächeninhalten [mm] A_1, [/mm] ..., [mm] A_n, [/mm] und es ist die Gesamtfläche [mm] A=A_1+...+A_n.
[/mm]
Nach der Ähnlichkeitsabbildung haben die neuen Dreiecke die Flächen [mm] A'_1=k^2A_1, [/mm] ..., [mm] A'_n=k^2A_n.
[/mm]
Die Fläche A' des neuen Vielecks ist [mm] A'=k^2A_1+ [/mm] ... [mm] +k^2A_n=k^2(A_1+ [/mm] ... [mm] +A_n)=k^2*A.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
Ok Danke für deine Antwort
mfg spiderschwein
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