Fläche von 2 Kurven < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 18.04.2006 | | Autor: | Amara |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sooo, ich stecke mitten im Abistess und habe mich irgendwie selbst verwirrt. Da wir kein Mathebuch haben, sondern nur mit Notizen arbeiten, konnte ich mir die auch nicht selbst beantworten. Also: Wenn ich eine geschlossene Fläche zwischen 2 Kurven habe, rechne ich das wie aus?
Also ist klar, dass ich erst die Grenzen durch Gleichsetzen bestimme und dann überprüfe, welches die "obere" Kurve ist. Aber dann bin ich durcheinander gekommen. Rechne ich jetzt f(x) - g(x)? Aber was passiert dann mit den Grenzen? Sind die dann noch relevant?
Ich weiß, ist ne dumme Frage, aber ich kann langsam nicht mehr klar denken.
Hilfe wäre echt super Grüße Amara
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Amara. ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Sooo, ich stecke mitten im Abistess und habe mich irgendwie
> selbst verwirrt. Da wir kein Mathebuch haben, sondern nur
Evtl. solltest du dann auch mal im Web suchen. Aber eigentlich ist das ganz einfach.
> mit Notizen arbeiten, konnte ich mir die auch nicht selbst
> beantworten. Also: Wenn ich eine geschlossene Fläche
> zwischen 2 Kurven habe, rechne ich das wie aus?
> Also ist klar, dass ich erst die Grenzen durch Gleichsetzen
> bestimme und dann überprüfe, welches die "obere" Kurve ist.
> Aber dann bin ich durcheinander gekommen. Rechne ich jetzt
> f(x) - g(x)? Aber was passiert dann mit den Grenzen? Sind
> die dann noch relevant?
> Ich weiß, ist ne dumme Frage, aber ich kann langsam nicht
> mehr klar denken.
Du hast eine Funktion f(x) und eine Funktion g(x)
Nun sollst du den Flächeninhalt berechnen, die beide einschließen.
Sagen wir einfach mal
$f(x) = [mm] x^2$
[/mm]
$g(x) = x+2$
Wenn du den Flächeninhalt haben möchtest, den beide Funktionen einschließen, dann musst du natürlich wissen, "wo" sich dieser Flächeninhalt befindet, d. h. in welchem Bereich du ihn berechnen musst. Das sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die errechnest du durch gleichsetzen der Funktionen
$f(x) = g(x) $
[mm] $x^2 [/mm] = x+2 // - x // -2$
[mm] $x^2-x-2 [/mm] = 0 //PQ-Formel $
Alternativ kannst du auch die quadratische Ergänzung nehmen
[mm] $x_{1,2}=0.5\pm\wurzel{0.5^2+2}$
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] = 2$
[mm] $x_2 [/mm] = -1$
Der Flächeninhalt der nun von beiden Funktionen eingeschloßen wird, ist wohl der, den die Funktion f(x) einschließt minus den Flächeninhalt der Funktion g(x)
D. h. du musst folgendes Berechnen
[mm] $A_{gesucht} [/mm] = [mm] A_{1}-A_{2}$
[/mm]
[mm] $A_{1}= \integral_{2}^{-1}{x^2 dx}$
[/mm]
[mm] $A_{2}=\integral_{2}^{-1}{x+2 dx}$
[/mm]
Das ist das selbe wie
[mm] $A_{gesucht} [/mm] = [mm] \integral_{2}^{-1}{f(x)-g(x) dx}$
[/mm]
Und um auf deine Frage zu antworten, ob man gucken muss, welches die obere Funktion ist und welche die untere:
Das ist egal! Auch wenn du die Integralsgrenzen "tauscht" (untere Grenze und obere Grenze) - es kann zwar ein negativer Flächeninhalt herauskommen, aber davon nimmst du dann einfach den Betrag.
Angenommen [mm] $A_1 [/mm] = 2$
Angenommen [mm] $A_2 [/mm] = 3$
Dann wäre $ [mm] A_{gesucht} [/mm] = 2-3 = -1$
Dann nimmst du den Betrag davon, das sieht dann so aus
[mm] $A_{gesucht} [/mm] =|2-3| = 1$
Ob ich nun [mm] A_1 [/mm] von [mm] A_2 [/mm] abziehe, es ergibt sich das selbe Ergebnis
[mm] $A_{gesucht} [/mm] = 3-2 = 1$
Noch Fragen?
Den Flächeninhalt des Beispiels poste ich gleich in einer Mitteilung. Falls du das irgendwie als Beispiel rechnen möchtest. Ansonsten darfst du auch gerne Beispielaufgaben posten, mit entsprechenden Ansätzen, bitte.
> Hilfe wäre echt super Grüße Amara
Viele Grüße Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
Moin moin.
Nur ums komplett zu machen, der Flächeninhalt zwischen
$f(x) = [mm] x^2$
[/mm]
und
$g(x) = x+2$
ist $|A| = [mm] |\br{-9}{2}| =\br{9}{2}$
[/mm]
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Di 18.04.2006 | | Autor: | Amara |
Also ist es egal, ob ich erst den Flächeninhalt für f(x) und g(x) einzeln berechne oder das innerhalb meiner Integralrechnug mache?
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) - g(x) dx} [/mm]
So etwa? Und fasse ich die beiden Funktionen dann zusammen und bilde daraus die Stammfunktion oder jeweils einzeln?
Grüße Amara
|
|
|
| |
|
Hallo Amara!
Eigentlich ist es egal, ob du gleich beides in einem machst oder jedes extra berechnest und es dann erst zusammen tust. Mach es so wie es für dich leichter und verständlicher ist (so mache ich es auf jeden Fall immer).
Deine Formel ist schonmal richtig.
Du musst aber von jeder die Stammfunktion einzeln bilden.
Hoffe, dass die das ein Stück weiter hilft.
LG Nicole
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Di 18.04.2006 | | Autor: | Amara |
Hm, seltsam! Weil in dem Übungsbüchlein, was ich zum Lernen nehme, haben die nämlich die beiden Funktionen zusammengefasst und daraus die Stammfunktion gebildet und das hatte mich dann total aus dem Konzept gebracht. Aber eigentlich geht das nicht, oder?
|
|
|
| |
|
Also ich mache es immer extra. Finde es einfach übersichtlicher und man kann es leichter nachvollziehen, wenn man einen Fehler macht.
Nicole
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Hm, seltsam! Weil in dem Übungsbüchlein, was ich zum Lernen
> nehme, haben die nämlich die beiden Funktionen
> zusammengefasst und daraus die Stammfunktion gebildet und
> das hatte mich dann total aus dem Konzept gebracht. Aber
> eigentlich geht das nicht, oder?
Was genau meinst du denn jetzt? Schade, dass du nicht das Beispiel gepostet hast, aber wenn ich die Frage richtig verstehe, möchtest du wissen, ob
[mm] $\int [/mm] f(x)dx - [mm] \int [/mm] g(x)dx$ das selbe ist wie
[mm] $\int [/mm] [f(x)-g(x) ]dx$
Übertragen auf mein Beispiel f(x) = [mm] x^2 [/mm] und g(x) = x+2 heißt das
[mm] $\int [x^2-(x+2) [/mm] ]dx = [mm] \int x^2-x-2$
[/mm]
das ist so richtig!
Du kannst nun also jede Funktion für sich integrieren
oder du fasst sie zu einer Funktion zusammen
Oftmals steht in Büchern auch, dass der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven
$ [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}$
[/mm]
ist, wobei gilt
$h(x) = f(x) - g(x) $
Du kannst die Stammfunktion bilden, indem du die Funktion h(x) bildest.
In meinem Beispiel
h(x) = [mm] x^2 [/mm] - (x+2) = [mm] x^2-x-2
[/mm]
Davon ist die Stammfunktion gesucht. Wurde aber alles schon einmal angesprochen, also scheint das Problem wo anders zu liegen, oder wolltest du das nur bestätigt haben?
Ok?
VG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 18.04.2006 | | Autor: | Amara |
Nein, es ist ne grundsätzliche Sache, ob man
[mm] \integral_{a}^{b}{F(x)-G(x) dx} [/mm] auch schon vorher zusammenfassen kann als zB [mm] \integral_{a}^{b}{H(x) dx}
[/mm]
So wurde das nämlich in meinem Buch mehrfach gemacht, aber nicht näher erläutert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 18.04.2006 | | Autor: | Disap |
> Nein, es ist ne grundsätzliche Sache, ob man
> [mm]\integral_{a}^{b}{F(x)-G(x) dx}[/mm] auch schon vorher
> zusammenfassen kann als zB [mm]\integral_{a}^{b}{H(x) dx}[/mm]
> So
> wurde das nämlich in meinem Buch mehrfach gemacht, aber
> nicht näher erläutert.
Woah...ich verstehe deine Frage offensichtlich gar nicht, daher lasse ich die mal unbeantwortet.
Wie ich in meiner Antwort vorher geschrieben habe
<zitat>
$ [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx} [/mm] $
ist, wobei gilt
$ h(x) = f(x) - g(x) $
</zitat>
Das ist genau das selbe wie da in deinem Buch steht, bis auf, dass F(x) schon die Stammfunktion von f(x) ist.
Es müsste heißen
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(x)-g(x) dx} =\integral_{a}^{b}{h(x) dx}$
[/mm]
Denn große Buchstaben werden meistens für die tatsächliche STammfunktion verwendet.
Aber ich gebe dem Buch einfach mal Recht.
MfG!
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Di 18.04.2006 | | Autor: | Amara |
Oh man! Dann hat unsere Leherin echt versagt *g*
Dankeschön, ich werde das jetzt fleißig üben und sehe es einfach mal als richtig an;)
Ich danke euch allen!!! Drückt mir am Samstag die Daumen;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Di 18.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Amara
Mit der Zusammenfassunf [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)-g(x) dx} [/mm] musst du nur dann vorsichtig sein, wenn du 3 0der mehr Schnittstellen der fkt hast.
Beispiel primitiv: Fläch zwischen sinx und 0,5 sinx zwischen 0 und [mm] 2\pi
[/mm]
da musst du von 0 bis [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] bis [mm] 2\pi [/mm] einzeln rechnen, und die Beträge addiern.
Wenn du Flächen ausrechnen sollst schreib immer zur Sicherheit [mm] A=|\integral_{a}^{b}{f(x) -g(x)dx}| [/mm] wenn a und b 2 benachbarte 0-Stellen sind! dann kommts nicht drauf an welches die "obere" Kurve ist!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Also ich kenne es auch nur so, dass man zunächst von jedem die Stammfunktion einzeln berechnet und dann erst beides zusammen nimmt.
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) - g(x) dx} [/mm] $ (hier dann jede Stammfunktion berechnen, am besten als Nebenrechnung)
[mm] A=\left[F-G \right][/mm] [mm]_b^a [/mm]
Hilft dir das?
LG Nicole
|
|
|
|
