Fläche zwischen 2 Kurven < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sira |
Hää meine Aufgabe ist weg, aber hier nochmal:
Bestimmen Sie a so, dass die Gerade y= a vom Graphen der Funktion
y= -x² + 2 die Fläche 4/3 Flächeneinheiten abschneidet.
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weit, deswegen habe ich sie hier gestellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da es eine Hausaufgabe ist habe ich leider so eine kurzfristige Fälligkeit angegeben.
Ich weiß nicht, wie ich auf die Grenzen kommen soll, wenn a nicht definiert ist. Mehr, als dass ich die 4/3 für den Flächeninhalt (also A) einsetzen könnte, weiß ich nicht.
Vielleicht hat jmd. einen Lösungsvorschlag oder einen Ansatz. Damit wäre mir sicher schon etwas geholfen. Wäre jedenfalls sehr dankbar.
Mfg
Sira
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Sira.
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weit, deswegen habe ich
> sie hier gestellt.
> Da es eine Hausaufgabe ist habe ich leider so eine
> kurzfristige Fälligkeit angegeben.
Tolle Begründungen 
> Ich weiß nicht, wie ich auf die Grenzen kommen soll, wenn
> a nicht definiert ist. Mehr, als dass ich die 4/3 für den
> Flächeninhalt (also A) einsetzen könnte, weiß ich nicht.
> Vielleicht hat jmd. einen Lösungsvorschlag oder einen
> Ansatz. Damit wäre mir sicher schon etwas geholfen. Wäre
> jedenfalls sehr dankbar.
Hm, also daraus werde ich nicht so ganz schlau. Du sagst, dass du nicht weißt, wie man auf DIE GRENZEN (Mehrzahl) kommst, erzählst dann aber, dass nur "a" nicht definiert ist. Hast du denn nun eine Grenze gegeben? Ich gehe mal davon aus, dass dem so ist.
Du hast die Funktion
f(x) und g(x).
Du willst nun den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen (der übrigens von den Schnittpunkten der Graphen begrenzt ist). D. h. es muss integriert (aufgeleitet) werden:
[mm] A=\integral_{a}^{bekannt} [/mm] f(x) - g(x) dx
Nun sagen wir, dass f(x) - g(x) = h(x) -> ist einfacher, wirkt jetzt auch schöner, wenn man es aufschreibt
[mm] A=\integral_{a}^{bekannt} [/mm] h(x) dx
Der Flächeninhalt ist bekannt, dieser ist /bruch{4}{3}
[mm] \bruch{4}{3}=\integral_{a}^{bekannt} [/mm] h(x) dx
Nun integrierst du und erhälst die Stammfunktion H(x)
[mm] \bruch{4}{3}=[H(x)]l_{a}^{bekannt} [/mm]
Und setzt nun bekannt und a ein. Bekannt ist in diesem Fall eine Zahl, sagen wir man fiktiv: 1 - Daraus ergibt sich
[mm] \bruch{4}{3}=H(1) [/mm] - H(a) und
und löst das dann nach a auf. Und dann hast du die fehlende Grenze.
Oder waren doch "zwei" Grenzen gesucht?
Evtl. postest du auch mal die genaue Aufgabe (mit Funktion etc.)
Aber hohe Anerkennung, dass du in erster Linie versuchst, das Prinzip zu verstehen und nicht die gesamte Aufgabe postest nach dem Motto: Bitte mit Lösungen, die nachvollziehbar sind
> Mfg
> Sira
Hoffe, so weit ist alles klar? Bei Fragen - nur zu!
Viele Grüße Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sira |
Also erstmal danke, dass du mir helfen willst. Oh je, das wird ja mal was... mein Problem ist, dass ich bisher nur mit Aufgaben zu tun hatte, bei denen die Funktionen beider Graphen bekannt waren. Diese habe ich gelöst, indem ich die Funktionen gleichgesetzt habe. Dadurch habe ich dann die Schnittpunkte erhalten und das waren dann meine Grenzen. Damit konnte ich dann auch aufleiten.
Hier habe ich nur eine Funktion: Y= -x² + 2. Die andere Funktion lautet y= a (und a ist nicht bekannt, das muss ich ja herausfinden). Jetzt weiß ich nicht, wie ich anfangen soll und ich weiß nicht wie ich eine Grenze herausfinden soll oder gar beide?
Ich glaube, dass bei mir, was Mathe angeht der Groschen sehr spät fällt.
Danke
Sira
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sira,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Aber nicht wesentlich anders wie Du es bisher kennst, funktioniert es hier auch:
Zunächst die Schnittstellen (= Integrationsgrenzen):
[mm] $2-x^2 [/mm] \ = \ a$
[mm] $\gdw$ $x^2 [/mm] \ = \ 2-a$
[mm] $\gdw$ $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{2-a}$
[/mm]
Und auch das Integral funktioniert genauso:
$A \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{f(x) - g(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{2-x^2 - a \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[-\bruch{1}{3}x^3 + (2-a)*x\right]_{x_1}^{x_2}$
[/mm]
Aus Symmetriegründen können wir nun das Integral von [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] bis [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] +\wurzel{2-a}$ [/mm] betrachten, dafür nehmen wir auch nur die halbe Fläche:
[mm] $\bruch{\red{2}}{3} [/mm] \ = \ [mm] \left[-\bruch{1}{3}x^3 + (2-a)*x\right]_{0}^{\wurzel{2-a}}$
[/mm]
Nun wie gehabt die Grenzen einsetzen und anschließend nach $a_$ auflösen / umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Sira |
Na gut: *= mal (ich meine multiplizieren)
2/3 = ( -1/3 [mm] *(\wurzel{2-a})³ [/mm] + (2-a) * [mm] \wurzel{2-a}) [/mm]
2/3 = ( -1/3 [mm] *(\wurzel{2-a})³ [/mm] + 2 * [mm] \wurzel{2-a} [/mm] - a * [mm] \wurzel{2-a})
[/mm]
So jetzt weiß ich nicht, wie ich das a aus der Wurzel herausbekommen soll und auf die andere Seite rüberbringen kann. Die 0 habe ich nicht eingesetzt, weil da eh 0 rauskommt.
Nebenbei mal: Woher weiß man, dass die andere Grenze 0 ist?
Ich weiß, es ist schlimm mit mir :), aber dennoch habe ich Hoffnung, dass ich es lernen werde, wenn ich einmal eine Aufgabe dieser Art verstanden habe...
Danke nochmals
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 30.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sira!
Die "Wurzel hoch 3" kannst Du folgendermaßen auflösen:
[mm] $\left( \ \wurzel{x} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{x} \ \right)^2*\wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] x*\wurzel{x}$
[/mm]
Die untere Grenze [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ konnte ich hier wählen, da beide Funktion $f(x) \ = \ [mm] 2-x^2$ [/mm] und $g(x) \ = \ a$ achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Von daher nehme ich die "einfachere Integrationsgrenze" mit $0_$ und betrachte die halbe Fläche (vielleicht einfach mal skizzieren die Funktionen).
Anderenfalls hätte ich wie aus der Schnittstellenberechnung ermittelt als untere Grenze [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\wurzel{2-a}$ [/mm] einsetzen müssen.
Gruß
Loddar
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