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Forum "Integralrechnung" - Fläche zwischen Gerade - Kurve
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Fläche zwischen Gerade - Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 So 09.03.2008
Autor: bOernY

Aufgabe
Berechne die Fläche die von dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=x^3+x^2 [/mm] und der Geraden g(x)=16x-20 eingeschlossen wird.

Prinzipiell gilt ja Schnittstellen berechnen, dann f(x)-g(x) und folglich die Stammfunktion bilden und die Grenzen eintragen.
Doch das Problem das ich habe ergibt sich erst bei Betrachtung der Graphen:

http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER47d3ff5e770b10.15536431

Also ich betrachte jetzt nur die Fläche von Null bist zu dem Schnittpunkt von f(x) und g(x) - dieser ist bei der Stelle 2.
Allerdings liegt dieser Schnittpunkt ja rechts von der Nullstelle, wird also mit f(x)-g(x) die eingeschlossene Fläche richtig berechnet?

Mein Ergebnis der rechten Fläche - also 0 bis 2 - wäre ca 14,7.
Doch diese Fläche erscheint mir sehr groß und ich kann mich nicht damit anfreunden.

Kann jemand von euch mir auf die Sprünge helfen?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 So 09.03.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Der Flächeininhalt ist aber korrekt.

Die Gesamte Fläche zwischen f(x) und g(x) ist sogar viel grösser

Marius

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Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 So 09.03.2008
Autor: bOernY

Das kann aber doch nicht sein!
Um mich nochmal zu wiederholen - ich betracht die Fläche von 0 bis 2 die von der Kurve und der Tangente und der x-Achse eingeschlossen wird. Würde man jetzt die Kästchen zählen und "abschätzen" dann sind das nie im Leben 14,7 - das ist doch einfach nicht möglich

Ich würde etwas um 1,3 schätzen aber niemals so eine große Zahl

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Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 09.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Versuch mal die Rechnung hier vorzuführen. Ich habe nämlich eine Fläche von 2,17 heraus. :-)

[cap] Gruß


> Ich würde etwas um 1,3 schätzen aber niemals so eine große
> Zahl

Gar nich mal so schlecht die Abschätzung ;-)


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Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 So 09.03.2008
Autor: bOernY

[mm] f(x)-g(x)=x^3+x^2-16x+20=k(x) [/mm]

Folglich ist die Stammfunktion K(x) folgende:

[mm] K(x)=\bruch{1}{4}x^4 + \bruch{1}{3}x^3 - 8x^2 + 20x[/mm]

[mm] $\integral_{0}^{2}{k(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*16 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * 8 - 8*4 + 20*2 = 4 + [mm] \bruch{8}{3} [/mm] - 32 + 40 = [mm] \bruch{44}{3}$ [/mm]

Joa das wär meine Rechnung dazu

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Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 09.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Das was du da gemacht hast ist richtig aber du hast nicht die Fläche zwischen f(x) und g(x) berechnet. Du sollst ja die Fläche zwischen den Graphen berechnen f(x) und g(x) berechnen. Also [mm] \integral_{-5}^{0}{f(x)-g(x) dx}+\integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx}. [/mm] Wenn du auf mein ergebnis kommen möchtest musst du der xAchse auch eine Funktion zuordnen. Sie ist nämlich h(x)=0
Demnach betrchtest du die Gläche zwischen f(x),g(x) und h(x) :-)
[cap] Gruß

Bezug
                                                
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 So 09.03.2008
Autor: bOernY

Ja aber wie soll das dann gehen?
Integrale geben doch eh immer die Fläche bis zur x-Achse an?!

und wenn ich h(x)=0 mit einfüge... wie soll das denn funktionieren? In der Stammfunktion würd ja dann stehe - 0x und das würd den wert nicht großartig verändern.

Wärst du so lieb deine Rechnung hier darzulegen?

Bezug
                                                        
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 So 09.03.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

schaue dir mal das Bild an, du zeichnest die Gerade (die y-Achse) x=0 ein, dann kannst du die zwei angegebenen Integrale berechnen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 So 09.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Das was Steffi dir sagte ist richtig aber du sagtest doch in einem Post dass du die Fläche f(x),g(x) und der x Achse haben willst und du durch abschätzung eine Fläche von ca. 1,7 herausbekommen wolltest Schau dir das Bild an:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Demnach benötigst du ja auch die schnittstelle, genauer die Nullstelle der Funktion g(x) genau das besagt doch die Funktion h(x)=0 es nämlich g(x)=h(x) [mm] \Rightarrow [/mm] 16x-20=0 :-) Und das ist nichts anderes als die Nullstelle der Funktion g(x). Mit diesen angaben erhälst du dann eine Fläche von 2,17

[cap] Gruß

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 So 09.03.2008
Autor: bOernY

Trotzdem verstehe ich immernoch nicht wie du auf das Ergebnis kommst?!
Kannst du die Rechnung nicht eben einstellen?

Ich wäre dir sehr dankbar

Bezug
                                                                        
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 So 09.03.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

wenn du diese Fläche berechnest, entfernst du dich aber von deiner eigentlichen Aufgabenstellung, berechne

[Dateianhang nicht öffentlich]

[mm] \integral_{0}^{2}{x^3+x^2 dx} [/mm] hellblaue und dunkelblaue Fläche

davon das Dreieck (dunkelblaue Fläche) subtrahieren, Grundseite ist 0,75 und Höhe ist 12, auf die Länge der Grundseite kommst du über die Nullstelle, auf die Höhe kommst du über f(2)

[mm] \bruch{20}{3}-4,5=\bruch{13}{6}=2,166... [/mm]

Steffi


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 So 09.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Ich glaube es geht noch ein Tick einfacher: Beachte h(x) ist die x-achse demnach ist h(x)=0.
Zu berechnen ist [mm] \integral_{0}^{1,25}{f(x)-h(x) dx}+\integral_{1,25}^{2}{f(x)-g(x) dx} [/mm]
Auf das erste Integral bin ich folgendermaßen gekommen: Ich will ja die Fläche von 0 bis 1,25 berechnen also die Fläche zw. f(x) und h(x). Das zweite Integral ist analog also von den Grenzen 1,25 bis 2 zw der Graphen f(x) und g(x)

Auf die 1,25 bin ich folgendermaßen gekommen: g(x)=h(x) [mm] \Rightarrow [/mm] 16x-20=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 16x=20 [mm] \Rightarrow [/mm] x=1,25 :-)
Nun die Integrale berechnen und du erhälst [mm] \bruch{13}{6}\approx [/mm] 2,17
Ok?
[cap] Gruß

Bezug
                        
Bezug
Fläche zwischen Gerade - Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 So 09.03.2008
Autor: Tyskie84

Hallo!

Beachte aber dass der tatsächliche Flächeninhalt weit größer ist als das was ich eben sagte. du sollst ja die Fläche zwischen den beiden Graphen berechnen. Schnittpunkte der Graphen sind [mm] x_{s}=-5 [/mm] und [mm] x_{s}=2 [/mm] demnach musst du [mm] \integral_{-5}^{0}{f(x)-g(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{0}^{2}{f(x)-g(x) dx} [/mm] berechnen und beide ergebnisse addieren.

[cap] Gruß

Bezug
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