Fläche zwischen zwei Graphen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne den inhalt der Fläche, die vm graphen von f, der tangente in p und der x-Achse begrenzt wird.
[mm] f(x)=\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{4} [/mm] ; P(0,5/3,5) |
Hallo zusammen,
Ich komme bei dieser aufgabe gar nicht weiter. Mein Probleme sind:
1. meiner meinung nach ist die y-koordinate des Punktes P 3,75 und nicht 3,5
2. der Punkt P liegt doch gar nicht auf dem Graphen f(x), sondern nur auf der tangente. ist das egal?eig nicht oder?
3. ich weiß nicht, wie ich es machen soll, dass nur die fläche bis zur x-achse genommen wird und nicht dadrüber.oder kann ich den graphen so nach oben verschieben, dass nicht ein teil über- und unterhalb der x-achse ist, sodass also alles oberhalb der x-achse ist und dann bis zum schnittpunkt der beiden graphen die fläche berechne???
Aber dann weiß ich nicht wie ich auf die schnittpunkte kommen (versuch es schon die ganze zeit.den schnittpunkt, den mir geogebra gibt /approx (-1/28) krieg ich einfach nicht raus)
(ich habe den graphen mit geogebra gezeichnet, deswegen sind auch diese fragen aufgetaucht)
Bitte helft mir
Liebe grüße !
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Hallo,
der Punkt gehört zur Tangente und nicht zur Funktion. Also musst du als erstes die Tangente bestimmen.
Diese Tangente hat einen gemeinsamen Punkt mit der Funktion und einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Eine Skizze zeigt dir, was du zu berechnen hast. Außerdem nehme ich an, dass du nur im I. Quadranten rechnen sollst.
Die Funktion nähert sich im unendlichen der x-Achse. Nun bildest du das Integral über die Funktion vom Berührungspunkt der Tangente mit der Funktion bis unendlich. Der so bestimmte Flächeninhalt ist noch zu groß, also subtrahierst du noch die Fläche unter der Tangente.
Fertig.
Die Schwierigkeit liegt 1. darin die Tangente zu bestimmen und 2. bis ins unendliche zu integrieren.
Viel Erfolg,
Roland.
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Hallo mein retter :)
ich danke dir erstmal...also die tangentengleichung habe ich und zwar
-16x+11,75 (habe für den y-wert des punktes auch 3,75 eingesetzt und nicht 3,5, weil ich fest davon überzeugt bin, dass die im buch einen tippfehler haben)
aber das inegrieren bis ins unendliche hatten wir noch gar nicht. gibt es keinen anderen weg?
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Hallo,
leider bin ich fest davon überzeugt, dass die im Buch keinen Fehler gemacht haben, denn sonst wäre es ja zu einfach. Außerdem hätten sie dann nicht den Punkt vorgeben müssen, sondern nur die Stelle (also den x-Wert) hätte ausgereicht.
Und beim Integrieren brauchst du nur den Grenzwert des Integrals zu bilden. Und Grenzwerte hatten ihr sicher schon.
Ein anderer Weg ist, dass ich mich täusche und die Fläche anders begrenzt ist. Das kannst du ja leicht nachprüfen, indem du die Funktionen (also Funktion und Tangente) mal zeichnen lässt (vom Taschenrechner).
Viel Erfolg,
Roland.
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also ich dachte, dass da ein fehler sein müsste, weil wenn man 0,5 in f(x) einsetzt kommt da 3,75 raus...
wenn dann doch mein gedanke falsch ist, dann weiß ich nicht wie ich an der stelle
-16x³+11,75x²-1=0 weitermachen soll, weil ich keinen x-wert durch ausprobieren für die polynomdivision finde ...
Liebe Grüße
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> also ich dachte, dass da ein fehler sein müsste, weil wenn
> man 0,5 in f(x) einsetzt kommt da 3,75 raus...
> wenn dann doch mein gedanke falsch ist, dann weiß ich
> nicht wie ich an der stelle
> -16x³+11,75x²-1=0 weitermachen soll, weil ich keinen
> x-wert durch ausprobieren für die polynomdivision finde
> ...
>
> Liebe Grüße
hallo,
also ich denke wie du, dass der y-wert des punktes falsch ist...
also gesucht ist ja die tangente des graphen in einem punkt, die gleichung dazu hast du ja richtig berechnet...
als eingeschlossene fläche sehe ich nun das blau schaffierte:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die teilfläche des linken schraffierten teilstückes geht ja von -2 bis zum schnittpunkt von f(x) und p(x)(=tangente)und wird nach oben durch f(x) begrenzt. das 2. teilstück geht vom schnittpunkt bis zur nullstelle von p(x) und wird nach oben von p(x) begrenzt.. nun müsstest du ja leicht 2 integrale aufstellen können und die fläche berechnen...
mfg tee
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ist dann das ergebnis ungefähr 62,4 (FE) ?
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Hi,
> ist dann das ergebnis ungefähr 62,4 (FE) ?
Nee leider nicht. Ich hab da was anderes heraus. Poste mal deine Rechnung bzw Zwischenergebnisse.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Ich habe alles in Betrag gerechnet...also..:
A= [mm] |\integral_{-2}^{-0,25}{-16x+12-x^-2 dx}|+|\integral_{-0.25}^{\bruch{47}{64}}{-16x+12-x^-2 dx}|=
[/mm]
|[-8x²+12x+x^-1 im Intervall -2,-0,25]|+|[-8x²+12x+x^-1 im Intervall [mm] -0,25;\bruch{47}{64}]|=49+13,359749 \approx [/mm] 62,4 (FE)
Liebe grüße!
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> Ich habe alles in Betrag gerechnet...also..:
>
> A= [mm]|\integral_{-2}^{-0,25}{-16x+12-x^-2 dx}|+|\integral_{-0.25}^{\bruch{47}{64}}{-16x+12-x^-2 dx}|=[/mm]
>
> |[-8x²+12x+x^-1 im Intervall -2,-0,25]|+|[-8x²+12x+x^-1
> im Intervall [mm]-0,25;\bruch{47}{64}]|=49+13,359749 \approx[/mm]
> 62,4 (FE)
>
> Liebe grüße!
hallo, du hast die differenzfunktion a(x)=f(x)-p(x) berechnet, wenn du dir jedoch meine skizze anschaust, siehst du, dass dein linkes integral zb nur von f(x) begrenzt wird, und das rechte von p(x).
gruß tee
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Hmm, ok stimmt...könnte ich aber so die differenzfunktion aanwenden:
[mm] |\integral_{-2}^{2}{-16x+12-x^-2 dx}|-|\integral_{\bruch{47}{64}}^{2}{f(x) dx}|
[/mm]
Wenn ich jetzt in der klausur keine zeichnung zeichnen könnte,woher weiß ich denn dann, welche fläche von was begrenzt wird bzw. ob ich jetzt die differenzfkt. bilden muss oder nicht?
Danke, und liebe grüße
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> Hmm, ok stimmt...könnte ich aber so die differenzfunktion
> aanwenden:
>
> [mm]|\integral_{-2}^{2}{-16x+12-x^-2 dx}|-|\integral_{\bruch{47}{64}}^{2}{f(x) dx}|[/mm]
hallo, so geht das nicht
>
> Wenn ich jetzt in der klausur keine zeichnung zeichnen
> könnte,woher weiß ich denn dann, welche fläche von was
> begrenzt wird bzw. ob ich jetzt die differenzfkt. bilden
> muss oder nicht?
naja, ich denke die funktion [mm] g(x)=\frac{1}{x^2} [/mm] kannst du zeichnen.. die um 1/4 nach unten geschoben, ergibt [mm] f(x)=\frac{1}{x^2}-1/4 [/mm] sollte kein problem darstellen... dann eine tangente ungefähr einzeichnen an nen gegebenen punkt sollte auch drin sein.. dann sich klar machen welche fläche gesucht ist (hier war es ja die durch die x-achse, f(x) UND p(x) begrenzte fläche). und in diesem fall hat es mit differenz nichts zu tun, sondern sinnvolle einteilung in bereiche (links mit f(x) und rechts mit p(x))
>
> Danke, und liebe grüße
gruß tee
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Dankeschön :)...ich rechne dann mal jetzt
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| Aufgabe | | f(x)=0,5x² ;P(3/4,5) |
Hallo nochmal...
Ich habe zu dieser aufgabe [mm] \bruch{171}{16} [/mm] als ergebnis und ich bezweifle, dass es stimmt...stimmt es?
Gruß
Powerranger
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Hi,
welche Fläche soll da berechnet werden? Die zwischen Funktion und Tangente am Punkt (3;4,5)?
Wie lautet deine Tangente?
Gruß
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ja, also die fläche zwischen funktion und tangente...
Meine tangentengleichung lautet 3x-4,5
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Dankeschön ...
Schöenen abend noch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Tyskie84 |
Hi,
hab mich vertan.
Tangente stimmt aber fläche nicht.
Als Stammfkt hast du ja [mm] \bruch{1}{6}x^3-\bruch{3}{2}x^2+4,5x. [/mm] Nun die Grenzen einsetzen dann bekommt man ca. 3,94
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Wie kommst du denn auf 3.94??
ich habe erstmal 2 intervalle gebildet mit der genannten stammfkt. 1/6x³-1,5x²+4,5x . dann habe ich das integral von 0 bis 3 gebildet, davon das integral von 1,5 bis 3 subtrahiert und immer mit beträgen...
oder mussste ich jetzt hier auch schauen, welches inegral von welcher fkt. begrenzt wird??
ich verstehe auch noch nicht so sehr, wie ich es sehen kann, welches integral von welcher funktion begrenzt wird. z.b. bei der ersten aufgabe, die ich gestellt habe, habe ich ja den schnittpunkt von p(x) (=tangente) und f(x) berechnet, aber fencheltee meinte ja, dass dieser teil bis zu dem schnittpunkt nur von f(x) begrenzt wird...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Sa 14.11.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Wie kommst du denn auf 3.94??
>
> ich habe erstmal 2 intervalle gebildet mit der genannten
> stammfkt. 1/6x³-1,5x²+4,5x . dann habe ich das integral
> von 0 bis 3 gebildet, davon das integral von 1,5 bis 3
> subtrahiert und immer mit beträgen...
> oder mussste ich jetzt hier auch schauen, welches inegral
> von welcher fkt. begrenzt wird??
> ich verstehe auch noch nicht so sehr, wie ich es sehen
> kann, welches integral von welcher funktion begrenzt wird.
> z.b. bei der ersten aufgabe, die ich gestellt habe, habe
> ich ja den schnittpunkt von p(x) (=tangente) und f(x)
> berechnet, aber fencheltee meinte ja, dass dieser teil bis
> zu dem schnittpunkt nur von f(x) begrenzt wird...
handelt es sich bei dieser aufgabe um die gleiche aufgabenstellung?
also fläche zwischen funktion f(x), p(x) und x-achse?
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ja das ist die gleiche aufgabenstellung...
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Hi,
oh man ich schreib ja nur noch falsche ergebnisse auf.
Also wenn du es so machst wie du es vorgeschlagen hast dann rechnest du:
[mm] \integral_{0}^{3}{0,5x^2dx}-\integral_{1,5}^{3}{3x-4,5 dx}. [/mm] Hier kommt jetzt sicher [mm] \bruch{9}{8} [/mm] heraus
Nun wenn du es mit den Differenzenfunktionen berechnen willst dann hilft immer eine Skizze oder auch ne kleine Rechnung bei der du die Schnittpunkte der Funktionen berechnest und dann noch schaust welche Funktion "größer" ist wenn du nicht mit Beträgen rechenn willst.
Gruß
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Kann ich denn hrie jetzt überhauupt mit der differenzfkt rechnen?
Wir haben es erst neu eingeführt mit der differenzfkt. und dazu aufgaben bekommen, deswegen versuche ich auch die ganze zeit differenzen einzubringen...und jetz hat es mich total verwirrt, wann ich jetzt differenzen bilden muss und wann nicht....ich verstehe gar nix mehr :(
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> Kann ich denn hrie jetzt überhauupt mit der differenzfkt
> rechnen?
>
> Wir haben es erst neu eingeführt mit der differenzfkt. und
> dazu aufgaben bekommen, deswegen versuche ich auch die
> ganze zeit differenzen einzubringen...und jetz hat es mich
> total verwirrt, wann ich jetzt differenzen bilden muss und
> wann nicht....ich verstehe gar nix mehr :(
mit der differenzfkt kannst du bei solchen aufgaben wie hier selten was anfangen..
anwendung dann eher bei "bestimme die fläche zwischen dem graphen von f(x)=... und g(x)=... ."
bei solchen aufgaben zunächst die schnittpunkte beider funktionen berechnen, dann a(x)=f(x)-g(x) rechnen und das/die integral(e) berechnen..
bei den von dir vorgestellten aufgaben, die ein gebiet aus 3 teilgraphen darstellt, macht das wenig sinn
gruß tee
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Ok...dankeschön :)
Liebste Grüße an die wissenden :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
