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Fläche zwischen zwei Kurven: Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:42 Mi 01.06.2005
Autor: Line

Hi Leute,
ich habe ein riesen Problem, ich verstehe Mathe einfach nicht, aber diese Aufgabe bereitet mir besonders Probleme. Es wäre lieb wenn mir jemand weiter helfen könnte oder sagen könnte ob wenigstens der Ansatz stimmt.
Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist die Funktion f mit

[mm] f(x)=\bruch{1}{8} x^{4}-4x [/mm]     x [mm] \in \IR [/mm]  Das Schaubild sei K.

a) Untersuchen sie K auf Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem und Wendepunkte.

b) K begrenzt mit der Normalen im Koordinatenursprung eine Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt A auf zwei Dezimale.


Die erste Teilaufgabe habe ich, denke ich zu mindest, einigermaßen richtig gelöst. Meine ergebnisse sind:
N1(0/0)  [mm] N2(\wurzel[3]{32}/0) [/mm]
TP(2/-6)
und einen Wendepunkt gibt es glaube ich nicht.

Der zweite Teil der aufgabe bereitet mir auf jedenfall mehr kopfzerbrechen.
Ich weiß, dass ich die Normale mit der Funktion gleichsetzen muss um dann die Schnittstellen zu bestimmen. Aber wie komme ich auf die Normale? Was soll überhaupt eine Normale zum Koordinatenursprung sein? Die Aufgabenstellung verwirrt mich total und ohne die Normale kann ich gar nicht weiter rechnen.
Könnte mir bitte jemand helfen?

Übrigens:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Fläche zwischen zwei Kurven: Normale = Senkrechte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mi 01.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo Line,

zunächst einmal [willkommenmr]  !!


> Gegeben ist die Funktion f mit
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{8} x^{4}-4x[/mm]     x [mm]\in \IR[/mm]  Das Schaubild
> sei K.
>  
> a) Untersuchen sie K auf Schnittpunkte mit der x-Achse,
> Extrem und Wendepunkte.
>  
> b) K begrenzt mit der Normalen im Koordinatenursprung eine
> Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt A auf zwei Dezimale.
>  
>
> Die erste Teilaufgabe habe ich, denke ich zu mindest,
> einigermaßen richtig gelöst. Meine ergebnisse sind:
> N1(0/0)  [mm]N2(\wurzel[3]{32}/0)[/mm]

[daumenhoch] Wenn Du möchtest, kannst Du bei der Wurzel noch partiell die Wurzel ziehen: [mm] $\wurzel[3]{32} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{8*4} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{8}*\wurzel[3]{4} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel[3]{4}$ [/mm]


>  TP(2/-6)

[daumenhoch]


>  und einen Wendepunkt gibt es glaube ich nicht.

[notok] Wie lautet denn Deine 2. Ableitung $f''(x)$ ??

Ich erhalte hier als mögliche Wendestelle [mm] $x_W [/mm] \ = \ 0$ (bitte nachrechnen) !


  
> Der zweite Teil der aufgabe bereitet mir auf jedenfall mehr
> kopfzerbrechen.
> Ich weiß, dass ich die Normale mit der Funktion
> gleichsetzen muss um dann die Schnittstellen zu bestimmen.

[ok]


> Aber wie komme ich auf die Normale? Was soll überhaupt eine
> Normale zum Koordinatenursprung sein?

Eine Normale ist eine Gerade, die auf eine andere Gerade oder Kurve senkrecht steht.

In unserem Falle heißt das, daß die Normale senkrecht auf die Tangente der Kurve im Ursprung (d.h. im Punkt $O \ (0;0)$ ) steht.

Du mußt Dir also zunächst die Tangentensteigung ermitteln (irgendwas mit 1. Ableitung oder so ;-) ) und kannst daraus die Steigung der Normalen bestimmen.

Es gilt nämlich für die Steigungen zweier Geraden [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$, [/mm] wenn sie senkrecht aufeinander stehen:

[mm] $g_1 [/mm] \ [mm] \perp [/mm] \ [mm] g_2$ $\gdw$ $m_1 [/mm] * [mm] m_2 [/mm] \ = \ -1$

Dabei sind [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] die Steigungen der beiden Geraden.


Hilft Dir das nun weiter?

Gruß vom
Roadrunner

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