Flächenberechnung < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Zu jedem k>0 ist eine Funktion [mm] f_{k} [/mm] gegeben durch [mm] f_{k}(t)=80e^{k*t}-\bruch{1}{3}e^{2*k*t}; t\in\IR
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Asymptoten des Graphen von [mm] f_{k}.
[/mm]
b) Die t-Achse und der Grapeh von [mm] f_{k} [/mm] begrenzen eine bis "ins Unendliche reichende" Fläche.Berechnen Sie die Gleichung der zur t-Achse senkrechten Geraden g,die diese Fläche in zwei Teilflächen einteilt,sodass der Inhalt der linken Teilfläche dremal so groß ist,wie der Inhalt der rechten Teilfläche. |
Hallo zusammen^^
Ich beschäftige mich zur Zeit mit dieser Aufgabe und komme hier nicht mehr weiter.
a) Zunächst soll die Asymptote bestimmt werden.Muss ich dann einfach nur schauen wie sich [mm] f_{k}(t) [/mm] für füt [mm] t\to\infty [/mm] verhält?
b) Ich hab versucht die Gerade zu berechnen,ich weiß aber nicht,ob das so stimmt.
Zunächst hab ich die Stammfunktion von [mm] f_{k} [/mm] bestimmt, also [mm] F_{k}(t)=\bruch{80}{k}*e^{k*t}-\bruch{1}{6k}*e^{2*k*t}.
[/mm]
Jetzt die Geradengleichung g=t,das t muss ich bestimmen.
Dann hab ich die Nullstelle von [mm] f_{k} [/mm] ausgerechnet und den Schnittpunkt mit g,das ist t.
Das beides sind die obere und untere Integrationsgrenzen.Und das hab ich [mm] =\bruch{1}{3} [/mm] gesetzt.Also hab ich einfach folgendes berechnet:
[mm] F(\bruch{ln(240)}{k}-F(t)=\bruch{1}{3}
[/mm]
Am Ende bin ich auf [mm] t=\bruch{ln(2k)}{-478*k}-\bruch{0.023}{k} [/mm] gekommen.
Ich glaub das stimmt so aber nicht,kann mir da jemand weiterhelfen?
vielen dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 07.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zu jedem k>0 ist eine Funktion [mm]f_{k}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{k}(t)=80e^{k*t}-\bruch{1}{3}e^{2*k*t}; t\in\IR[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Asymptoten des Graphen von [mm]f_{k}.[/mm]
>
> b) Die t-Achse und der Grapeh von [mm]f_{k}[/mm] begrenzen eine bis
> "ins Unendliche reichende" Fläche.Berechnen Sie die
> Gleichung der zur t-Achse senkrechten Geraden g,die diese
> Fläche in zwei Teilflächen einteilt,sodass der Inhalt der
> linken Teilfläche dremal so groß ist,wie der Inhalt der
> rechten Teilfläche.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich beschäftige mich zur Zeit mit dieser Aufgabe und komme
> hier nicht mehr weiter.
>
> a) Zunächst soll die Asymptote bestimmt werden.Muss ich
> dann einfach nur schauen wie sich [mm]f_{k}(t)[/mm] für füt
> [mm]t\to\infty[/mm] verhält?
Yep. Und da er Graph keine Definitionslücken hat, reicht es auch, hier die beiden Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f_{k} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\red{-}\infty}f_{k} [/mm] zu bestimmen.
>
> b) Ich hab versucht die Gerade zu berechnen,ich weiß aber
> nicht,ob das so stimmt.
>
> Zunächst hab ich die Stammfunktion von [mm]f_{k}[/mm] bestimmt, also
> [mm]F_{k}(t)=\bruch{80}{k}*e^{k*t}-\bruch{1}{6k}*e^{2*k*t}.[/mm]
>
Die Stammfunktion stimmt.
> Jetzt die Geradengleichung g=t,das t muss ich bestimmen.
>
Die Gerade ist eine Gerade der Form t=a (und geht duch A(a;0) auf der t-Achse.
Berechne doch erstmal die gesamte Fläche, Also
[mm] \integral_{x_{0}}^{n}f_{k}(t)dt
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] ist die Nullstelle von [mm] f_{k}(t), [/mm] und n eine Variable, die du zur Ermittlung des Flächeininhalts A gegen unendlich laufen lassen musst.
Hast du dann diese Fläche A bestimme dann dein a der Gerade t=a so, dass
[mm] \integral_{x_{0}}^{\red{a}}f_{k}(t)dt=\bruch{3}{4}A
[/mm]
> Dann hab ich die Nullstelle von [mm]f_{k}[/mm] ausgerechnet und den
> Schnittpunkt mit g,das ist t.
> Das beides sind die obere und untere
> Integrationsgrenzen.Und das hab ich [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
> gesetzt.Also hab ich einfach folgendes berechnet:
>
> [mm]F(\bruch{ln(240)}{k}-F(t)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Am Ende bin ich auf
> [mm]t=\bruch{ln(2k)}{-478*k}-\bruch{0.023}{k}[/mm] gekommen.
> Ich glaub das stimmt so aber nicht,kann mir da jemand
> weiterhelfen?
>
> vielen dank
>
> lg
Jetzt bist du erstmal wieder dran.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
vielen dank für die Antwort.
> > Jetzt die Geradengleichung g=t,das t muss ich bestimmen.
> >
>
> Die Gerade ist eine Gerade der Form t=a (und geht duch
> A(a;0) auf der t-Achse.
>
> Berechne doch erstmal die gesamte Fläche, Also
>
> [mm]\integral_{x_{0}}^{n}f_{k}(t)dt[/mm]
>
> [mm]x_{0}[/mm] ist die Nullstelle von [mm]f_{k}(t),[/mm] und n eine Variable,
> die du zur Ermittlung des Flächeininhalts A gegen unendlich
> laufen lassen musst.
>
> Hast du dann diese Fläche A bestimme dann dein a der Gerade
> t=a so, dass
> [mm]\integral_{x_{0}}^{\red{a}}f_{k}(t)dt=\bruch{3}{4}A[/mm]
>
Ok,aber müssten die Integrationsgrenzen nicht andersrum sein?
Die Fläche ist doch nach links "unendlich groß".Also müsste die Nullstelle doch die obere Integrationsgrenze sein oder nicht?
Ich habs trotzdem mal so ausgerechnet,wie du es gesagt hast und komme auf:
[mm] \bruch{60}{k}*e^{k*n}-\bruch{1}{8k}*e^{2*k*n}-\bruch{60}{k}*e^{k*x_{0}}+\bruch{1}{8k}*e^{2*k*x_{0}}=\bruch{80}{k}*e^{k*a}-\bruch{1}{6k}*e^{2*k*a}-\bruch{80}{k}*e^{k*x_{0}}+\bruch{1}{6k}*e^{2*k*x_{0}}
[/mm]
Das muss doch jetzt nach t aufgelöst werden,aber wie soll ich das machen,da sind so viele andere Variablen, a,n und k,wie soll ich das nach t auflösen?
vielen dank
lg
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> vielen dank für die Antwort.
>
> > > Jetzt die Geradengleichung g=t,das t muss ich bestimmen.
Nein, das a musst Du bestimmen!
> > Die Gerade ist eine Gerade der Form t=a (und geht duch
> > A(a;0) auf der t-Achse.
> >
> > Berechne doch erstmal die gesamte Fläche, Also
> >
> > [mm]\integral_{x_{0}}^{n}f_{k}(t)dt[/mm]
> >
> > [mm]x_{0}[/mm] ist die Nullstelle von [mm]f_{k}(t),[/mm] und n eine Variable,
> > die du zur Ermittlung des Flächeininhalts A gegen unendlich
> > laufen lassen musst.
> >
> > Hast du dann diese Fläche A bestimme dann dein a der Gerade
> > t=a so, dass
> > [mm]\integral_{x_{0}}^{\red{a}}f_{k}(t)dt=\bruch{3}{4}A[/mm]
> >
>
> Ok,aber müssten die Integrationsgrenzen nicht andersrum
> sein?
> Die Fläche ist doch nach links "unendlich groß".Also
> müsste die Nullstelle doch die obere Integrationsgrenze
> sein oder nicht?
In welche Richtung die Fläche "unendlich groß" ist, entscheidet sich doch an der Wahl von k.
> Ich habs trotzdem mal so ausgerechnet,wie du es gesagt hast
> und komme auf:
>
> [mm]\bruch{60}{k}*e^{k*n}-\bruch{1}{8k}*e^{2*k*n}-\bruch{60}{k}*e^{k*x_{0}}+\bruch{1}{8k}*e^{2*k*x_{0}}=\bruch{80}{k}*e^{k*a}-\bruch{1}{6k}*e^{2*k*a}-\bruch{80}{k}*e^{k*x_{0}}+\bruch{1}{6k}*e^{2*k*x_{0}}[/mm]
>
> Das muss doch jetzt nach t aufgelöst werden,aber wie soll
> ich das machen,da sind so viele andere Variablen, a,n und
> k,wie soll ich das nach t auflösen?
Da ist kein t mehr drin, danach kannst Du nicht auflösen. Auflösen sollst Du nach a. Die anderen Variablen sind so lange erst einmal keine, sondern wie Parameter zu behandeln.
> vielen dank
>
> lg
Grüße,
reverend
|
|
|
|
