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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch
f(x) = [mm] (x^{2} [/mm] - 4x + 3) [mm] \* [/mm] (x + 2), x [mm] \in \IR
[/mm]
a) Führen Sie für diese Funktion eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema). Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall -2,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3,5.
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen der Graph der Funktion f Tangenten besitzt, die parallel zur Geraden g mit der Gleichung g(x) = -x + 6 (x [mm] \in \IR) [/mm] verlaufen.
c) Gegeben ist die Funktion p durch y= p(x) = [mm] x^{3} [/mm] + 6 (x [mm] \in \IR). [/mm] Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und dem Graphen der Funktion p vollständig begrenzt wird.
Gegeben sind die Funktionen [mm] h_{m} [/mm] durch y = [mm] h_{m}(x) [/mm] = mx + 6 (m [mm] \in \IR, [/mm] x [mm] \in \IR).
[/mm]
d) Für welche Werte von m besitzen die Graphen der Funktionen f und [mm] h_{m} [/mm] genau drei gemeinsame Punkte?
e) Die beiden Schnittpunkte des Graphen der Funktion [mm] h_{0,25} [/mm] mit dem Graphen der Funktion f, die nicht auf der y-Achse liegen, und der Koordinatenursprung bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Fragen beziehen sich auf die Aufgaben c) und e).
c) Hier müsste man ja zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen, um das Intervall zu erhalten und diese anschließend in das Integral von f(x) - p(x) einsetzen.
Die Schnittpunkte sind [mm] x_{01} [/mm] = - [mm] \bruch{5}{2} [/mm] und [mm] x_{02} [/mm] = 0
Das Problem ist allerdings, dass sich innerhalb dieses Intervalls sowohl eine Nullstelle von f(x) [mm] (x_{0} [/mm] = -2) als auch von p(x) [mm] (x_{0} [/mm] \ approx -1,8) befindet. Im Unterricht haben wir gelernt, dass man das Intervall in diesem Fall "aufsplitten" muss, d.h. zunächst den Flächeninhalt von der kleineren Intervallgrenze zur Nullstelle und anschließend von der Nullstelle zur größeren Intervallgrenze berechnet, und diese beiden Flächeninhalte anschließend addiert.
Muss ich das bei dieser Aufgabe ebenfalls machen und wenn ja, wie?
e) Für diese Aufgabe habe ich zunächst die Schnittpunkte von f(x) und [mm] h_{0,25}(x) [/mm] berechnet:
[mm] x_{01} [/mm] = 0 --> [mm] h_{0,25}(0) [/mm] = 6 --> fällt weg, da auf der y-Achse liegend
[mm] x_{02} [/mm] = -1,5 --> [mm] h_{0,25}(-1,5) [/mm] = 5,625 --> [mm] P_{1}
[/mm]
[mm] x_{03} [/mm] = 3,5 --> [mm] h_{0,25}(3,5) [/mm] = 6,875 --> [mm] P_{2}
[/mm]
Da ich nicht weiß, um was für ein Dreieck es sich handelt, nehme ich die Formel zur Berechnung von A für ein allgemeines Dreieck:
A = [mm] \bruch{1}{2}gh
[/mm]
Da der Punkt [mm] P_{3} [/mm] im Koordinatenursprung liegt, nehme ich als h den Schnittpunkt mit der y-Achse der Strecke zwischen [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2}: [/mm]
[mm] h_{0,25}(0) [/mm] = 6 = h
Als g müsste ich nun die Länge der Strecke [mm] \overline{P_{1}P_{2}} [/mm] nehmen:
[mm] \overline{P_{1}P_{2}} [/mm] = g = [mm] \wurzel{(-1,5 - 3,5)^{2} + (5,625 - 6,875)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{26,5625}
[/mm]
Der Flächeninhalt wäre demnach:
A [mm] \approx [/mm] 15,46 FE
Auf unserem Lösungsblatt wurde der Flächeninhalt allerdings mit
A = A = [mm] \bruch{1}{2} \* [/mm] 6 [mm] \* [/mm] (3,5 + 1,5) = 15 FE
berechnet. Aber man kann doch die Länge der Strecke [mm] \overline{P_{1}P_{2}} [/mm] nicht einfach ermitteln, indem man die Beträge der beiden x-Werte addiert?! Geht das nicht nur, wenn kein Anstieg vorhanden wäre?
Welches Ergebnis ist denn nun richtig?
Vielen lieben Dank im Voraus für die Hilfe!
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Hallo Katzenpfoetchen und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben ist die Funktion f durch
>
>$ f(x) = [mm] (x^{2}-4x [/mm] + 3)*(x + 2)$, [mm] x\in \IR
[/mm]
>
> a) Führen Sie für diese Funktion eine Kurvendiskussion
> durch (Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Koordinaten
> des Schnittpunktes des Graphen mit der y-Achse, Koordinaten
> der lokalen Extrempunkte, Art der Extrema). Zeichnen Sie
> den Graphen der Funktion f im Intervall -2,5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 3,5.
>
> b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen der
> Graph der Funktion f Tangenten besitzt, die parallel zur
> Geraden g mit der Gleichung g(x) = -x + 6 (x [mm]\in \IR)[/mm]
> verlaufen.
>
> c) Gegeben ist die Funktion p durch y= p(x) = [mm]x^{3}[/mm] + 6 (x
> [mm]\in \IR).[/mm] Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die vom
> Graphen der Funktion f und dem Graphen der Funktion p
> vollständig begrenzt wird.
>
> Gegeben sind die Funktionen [mm]h_{m}[/mm] durch y = [mm]h_{m}(x)[/mm] = mx +
> 6 (m [mm]\in \IR,[/mm] x [mm]\in \IR).[/mm]
>
> d) Für welche Werte von m besitzen die Graphen der
> Funktionen f und [mm]h_{m}[/mm] genau drei gemeinsame Punkte?
>
> e) Die beiden Schnittpunkte des Graphen der Funktion
> [mm]h_{0,25}[/mm] mit dem Graphen der Funktion f, die nicht auf der
> y-Achse liegen, und der Koordinatenursprung bilden ein
> Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Fragen beziehen sich auf die Aufgaben c) und e).
>
> c) Hier müsste man ja zunächst die Schnittpunkte der
> beiden Funktionen bestimmen, um das Intervall zu erhalten
> und diese anschließend in das Integral von f(x) - p(x)
> einsetzen.
>
> Die Schnittpunkte sind [mm]x_{01}= -\bruch{5}{2}[/mm] und [mm]x_{02}=0[/mm]
>
> Das Problem ist allerdings, dass sich innerhalb dieses
> Intervalls sowohl eine Nullstelle von f(x) [mm](x_{0}[/mm] = -2) als
> auch von p(x) [mm](x_{0}[/mm] \ approx -1,8) befindet. Im Unterricht
> haben wir gelernt, dass man das Intervall in diesem Fall
> "aufsplitten" muss, d.h. zunächst den Flächeninhalt von
> der kleineren Intervallgrenze zur Nullstelle und
> anschließend von der Nullstelle zur größeren
> Intervallgrenze berechnet, und diese beiden Flächeninhalte
> anschließend addiert.
>
> Muss ich das bei dieser Aufgabe ebenfalls machen und wenn
> ja, wie?
Stell dir vor, du würdest beide Graphen um eine feste Zahl C so nach oben verschieben, dass keine Nullstelle mehr im Intervall liegt.
Ändert sich dadurch die eingeschlossene Fläche zwischen den Graphen? Antwort: ???
Was ändert sich dann am zu berechnenden Integral?
[mm] \int_a^b{(f(x)+C)-(g(x)+C)\ dx}=...
[/mm]
Bemerkst du den "Trick"?
>
> e) Für diese Aufgabe habe ich zunächst die Schnittpunkte
> von f(x) und [mm]h_{0,25}(x)[/mm] berechnet:
>
> [mm]x_{01}[/mm] = 0 --> [mm]h_{0,25}(0)[/mm] = 6 --> fällt weg, da auf der
> y-Achse liegend
> [mm]x_{02}[/mm] = -1,5 --> [mm]h_{0,25}(-1,5)[/mm] = 5,625 --> [mm]P_{1}[/mm]
> [mm]x_{03}[/mm] = 3,5 --> [mm]h_{0,25}(3,5)[/mm] = 6,875 --> [mm]P_{2}[/mm]
>
> Da ich nicht weiß, um was für ein Dreieck es sich
> handelt, nehme ich die Formel zur Berechnung von A für ein
> allgemeines Dreieck:
>
> A = [mm]\bruch{1}{2}gh[/mm]
>
> Da der Punkt [mm]P_{3}[/mm] im Koordinatenursprung liegt, nehme ich
> als h den Schnittpunkt mit der y-Achse der Strecke zwischen
> [mm]P_{1}[/mm] und [mm]P_{2}:[/mm]
>
> [mm]h_{0,25}(0)[/mm] = 6 = h
>
> Als g müsste ich nun die Länge der Strecke
> [mm]\overline{P_{1}P_{2}}[/mm] nehmen:
>
> [mm]\overline{P_{1}P_{2}}[/mm] = g = [mm]\wurzel{(-1,5 - 3,5)^{2} + (5,625 - 6,875)^{2}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{26,5625}[/mm]
>
> Der Flächeninhalt wäre demnach:
>
> A [mm]\approx[/mm] 15,46 FE
>
> Auf unserem Lösungsblatt wurde der Flächeninhalt
> allerdings mit
>
> A = A = [mm]\bruch{1}{2} \*[/mm] 6 [mm]\*[/mm] (3,5 + 1,5) = 15 FE
>
> berechnet. Aber man kann doch die Länge der Strecke
> [mm]\overline{P_{1}P_{2}}[/mm] nicht einfach ermitteln, indem man
> die Beträge der beiden x-Werte addiert?! Geht das nicht
> nur, wenn kein Anstieg vorhanden wäre?
>
> Welches Ergebnis ist denn nun richtig?
>
> Vielen lieben Dank im Voraus für die Hilfe!
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zu c)
Nein, es würde sich nichts ändern, da die beiden Cs bei der Subtraktion wegfallen würden  . Daher ist die Tatsache, dass sich die beiden Nullstellen im Intervall befinden, für die Berechnung nicht relevant.
Vielen Dank für den Tipp, jetzt kann ich mir das auch vorstellen.
zu e)
Das mit der angeblichen "Höhe" habe ich, nachdem ich mir meine Skizze nochmal angesehen hatte, auch bemerkt... Da hatte ich wohl nicht richtig hingesehen.
Das mit der Formel konnte ich jetzt auch nachvollziehen - auf dem Lösungsblatt stand leider nur die zusammengefasste Formel und nicht, wie man darauf kommt. Auch hier also vielen Dank für den Hinweis!
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> Gegeben ist die Funktion f durch
>
> f(x) = [mm](x^{2}[/mm] - 4x + 3) [mm]\*[/mm] (x + 2), x [mm]\in \IR[/mm]
>
> Gegeben sind die Funktionen [mm]h_{m}[/mm] durch y = [mm]h_{m}(x)[/mm] = mx +
> 6 (m [mm]\in \IR,[/mm] x [mm]\in \IR).[/mm]
>
>
> e) Die beiden Schnittpunkte des Graphen der Funktion
> [mm]h_{0,25}[/mm] mit dem Graphen der Funktion f, die nicht auf der
> y-Achse liegen, und der Koordinatenursprung bilden ein
> Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Fragen beziehen sich auf die Aufgaben c) und e).
>
> e) Für diese Aufgabe habe ich zunächst die Schnittpunkte
> von f(x) und [mm]h_{0,25}(x)[/mm] berechnet:
>
> [mm] $x_{01} [/mm] = 0 [mm] \to h_{0,25}(0)= [/mm] 6$ --> fällt weg, da auf der
> y-Achse liegend
> [mm]x_{02}[/mm] = -1,5 --> [mm]h_{0,25}(-1,5)[/mm] = 5,625 --> [mm]P_{1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x_{03}[/mm] = 3,5 --> [mm]h_{0,25}(3,5)[/mm] = 6,875 --> [mm]P_{2}[/mm]
>
> Da ich nicht weiß, um was für ein Dreieck es sich
> handelt, nehme ich die Formel zur Berechnung von A für ein
> allgemeines Dreieck:
>
> A = [mm]\bruch{1}{2}gh[/mm]
>
> Da der Punkt [mm]P_{3}[/mm] im Koordinatenursprung liegt, nehme ich
> als h den Schnittpunkt mit der y-Achse der Strecke zwischen
> [mm]P_{1}[/mm] und [mm]P_{2}:[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
die Höhe eines Dreiecks steht senkrecht auf der Grundseite und verläuft durch die gegenüberliegende Ecke.
Die erste Bedingung ist von deiner "Höhe" nicht erfüllt.
Daher kann deine Lösung nicht richtig sein.
>
> [mm]h_{0,25}(0)[/mm] = 6 = h
>
> Als g müsste ich nun die Länge der Strecke
> [mm]\overline{P_{1}P_{2}}[/mm] nehmen:
>
> [mm]\overline{P_{1}P_{2}}[/mm] = g = [mm]\wurzel{(-1,5 - 3,5)^{2} + (5,625 - 6,875)^{2}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{26,5625}[/mm]
>
> Der Flächeninhalt wäre demnach:
>
> A [mm]\approx[/mm] 15,46 FE
>
> Auf unserem Lösungsblatt wurde der Flächeninhalt
> allerdings mit
>
> A = A = [mm]\bruch{1}{2} \*[/mm] 6 [mm]\*[/mm] (3,5 + 1,5) = 15 FE
>
> berechnet. Aber man kann doch die Länge der Strecke
> [mm]\overline{P_{1}P_{2}}[/mm] nicht einfach ermitteln, indem man
> die Beträge der beiden x-Werte addiert?! Geht das nicht
> nur, wenn kein Anstieg vorhanden wäre?
Das wurde auch nicht gemacht!
Vielmehr kann man das Dreieck [mm] OP_1P_2 [/mm] in zwei Teildreiecke zerlegen mit der gemeinsamen Grundseite auf der y-Achse: g=6
Betrachte die Höhen der beiden Teildreiecke, dann kommst du auf die oben angegebene Formel.
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> Welches Ergebnis ist denn nun richtig?
>
> Vielen lieben Dank im Voraus für die Hilfe!
Gruß informix
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